\documentclass[fleqn,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}
\markright{}

\setcounter{secnumdepth}{-2}
%\setlength{\unitlength}{1mm}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{}
\subsection{}
\noindent KTH, Matematik

\vskip 0.5cm
\noindent
{\bf Lappskrivning nummer 1  till kursen Linj\"ar algebra, SF1604, f\"or F1 den 
12/9  2008, 
10:15-10:55. }
\vskip 0.3cm
\noindent
{Namn/person-nummer: }


\vskip 0.3cm
\noindent
{Resultat: }

\vskip 0.3cm
\noindent
{Godk\"and p{\aa} uppgift 1 ger 1 bonus po\"ang dil Del I av tentamen och omtentamen. 
Godk\"and p{\aa} uppgift 2 ger 1 bonus po\"ang dil Del II av tentamen och omtentamen.}

\vskip 0.3cm
\noindent
{\bf OBS Svaret skall motiveras och l\"osningen skrivas, ordentligt och klart, p{\aa} detta pappers fram- 
och baksida. Inga hj\"alpmedel \"ar till{\aa}tna.}
\begin{enumerate}



\item  Best\"am, f\"or varje reellt tal $h\in {\bf R},$  l\"osningarna till ekvationssystemet
\[\left\{\begin{array}{ccccccc}
x&+&hy&+&hz&=&1\\
x&+&hy&+&z&=&0\\
x&&&-&hz&=&0\end{array}\right.\]

Svar: Gauss eliminering ger:
\[\left[\begin{array}{cccc}
1&h&h&1\\
1&h&1&0\\
1&0&-h&0
\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}
1&h&h&1\\
0&0&1-h&-1\\
0&-h&-2h&-1
\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cccc}
1&h&h&1\\
0&-h&-2h&-1\\
0&0&1-h&-1
\end{array}\right] \]
 Om $h=0,1$ d{\aa} saknar systemet l\"osningar.
 Om $h\neq 0,1,$ d{\aa} har systemet en unik l\"osning: $(x,y,z)=(-\frac{h}{1-h},\frac{1+h}{h(1-h)}, \frac{1}{1-h}).$



$h\neq 0,1$ unik l\"osning, $h=0,1$ ingen l\"osning.



\item  En matris $A=(a_{ij})\in M_{n,n}({\bf R})$ kallas symmetrisk om $a_{ij}=a_{ji}$ f\"or varje $i,j.$ Visa att om $A=(a_{ij})\in M_{n,n}({\bf R})$ \"ar symmetrisk s\aa dan att $A^2=A,$ d{\aa} \"ar
\begin{enumerate}
\item $tr(A)\geq 0$  och 
\item $tr(A)=0 \text{ om och endast om }A=0.$
\end{enumerate}
($tr(A)=a_{11}+a_{22}+\ldots +a_{nn}$  betecknar sp\aa ret av $A$.)


\noindent L\"osning: Enligt matrisprodukts reglerna s{\aa} har vi att:
\[\begin{array}{ccc}
a_{11}^2+a_{12}^2+\ldots +a_{1n}^2&=&a_{11}\\
a_{21}^2+a_{22}^2+\ldots +a_{2n}^2&=&a_{21}\\
\ldots&&\ldots \\
a_{n1}^2+a_{n2}^2+\ldots +a_{nn}^2&=&a_{n1}\\
\end{array}\]

Det f\"oljer att $a_{ii}\geq 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n$ och att $a_{ii}=0$ om och endast om $a_{ij}=0$ f\"or $j=1,\ldots, n.$
Eftersom $a_{ii}\geq 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n$ s{\aa} \"at $tr(A)>0.$

Om $A=0$ d{\aa} \"ar $tr(A)=0.$ Om $tr(A)=0,$ eftersom $a_{ii}\geq 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n,$ s{\aa} \"ar  $a_{ii}= 0$ f\"or varje $i=1,\ldots,n.$ Det f\"oljer att $a_{ij}=0$ f\"or $j=1,\ldots, n$
 och $i=1,\ldots,n,$ som betyder att $A=0.$
 





\end{enumerate}

\end{document}
