\documentclass[fleqn,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}
\markright{}

\setcounter{secnumdepth}{-2}
%\setlength{\unitlength}{1mm}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{}
\subsection{}
\noindent KTH, Matematik

\vskip 0.5cm
\noindent
{\bf Lappskrivning nummer 3  till kursen Linj\"ar algebra, SF1604, f\"or F1 den 
10/10  2008, 
10:15-10:55. }
\vskip 0.3cm
\noindent
{Namn/person-nummer: }


\vskip 0.3cm
\noindent
{Resultat: }

\vskip 0.3cm
\noindent
{Godk\"and p{\aa} uppgift 1 ger 1 bonus po\"ang till Del I av tentamen och omtentamen. 
Godk\"and p{\aa} uppgift 2 ger 1 bonus po\"ang till Del II av tentamen och omtentamen.}

\vskip 0.3cm
\noindent
{\bf OBS Svaret skall motiveras och l\"osningen skrivas, ordentligt och klart, p{\aa} detta pappers fram- 
och baksida. Inga hj\"alpmedel \"ar till{\aa}tna.}
\begin{enumerate}



\item 
Best\"am parameterekvationen till den linje $L\subset {\bf R}^3,$ som uppffyller f\"oljande krav: 
\begin{enumerate}
\item $L$  g\aa r igenom punkten $P=(1,-1,1),$
\item $L$  \"ar parallel till planet med ekvation $x-3y=2$ och
\item $L$  \"ar ortogonal (vinkelr\"at) till linjen $(0,0,1)+t(2,1,1).$
\end{enumerate}

\noindent{\bf L\"osning.} Vektorn $\vec{n}=(1,-3,0)$ \"ar en normal vektor till planet $x-3y=2$ och s{\aa} ska linjen $L$ vara ortogonal mot $\vec{n}.$
Vektorn $\vec{v}=(2,1,1)$ \"ar riktningsvektor till linjen $(0,0,1)+t(2,1,1)$ och s{\aa} ska linjen $L$ vara ortogonal mot $\vec{v}.$

Det f\"oljer att $L$ \"ar parallel till vektor $\vec{w}=\vec{n}\times\vec{v}=(3,-1,7).$
Parameterekvationen till  linjen $L$ \"ar d\"arf\"or:
$$(1,-1,1)+t(3,-1,7).$$


 
\item  L\aa t $\vec{v_1}=(3,1,0,1), \vec{v_2}=(1,1,0,0),$ och betrackta f\"oljande delm\"angd:
$$ W=\{\vec{v}\in{\bf R}^4\text{ s\aa dan att } \vec{v}\perp \vec{v_1}\text{ ich }\vec{v}\perp \vec{v_2} \}\subseteq {\bf R}^4.$$

\begin{enumerate}
\item Visa att $W$ \"ar ett delrum till ${\bf R}^4.$
\item Best\"am $\dim(W).$
\end{enumerate}
(Kom ih\aa g att beteckningen  $ \vec{v}\perp \vec{w}$ betyder att vektorerna $\vec{v}$ och $\vec{w}$ \"ar ortogonala (vinkelr\"ata)).

\noindent{\bf L\"osning.} 
\begin{enumerate}
\item Detta kan man l\"osa p{\aa} olika s\"att:

\noindent {\it (l\"osning i)} L\aa t $\vec{w_1}, \vec{w_2}\in W,$  och $\lambda\in {\bf R},$ d{\aa} \"ar 
$$\vec{v_i}\cdot (\vec{w_1}+ \vec{w_2})=\vec{v_i}\cdot \vec{w_1}+\vec{v_i}\cdot \vec{w_2}=0+0=0, \text{ och } \vec{v_i}\cdot (\lambda \vec{w_1})=  \lambda \vec{v_i}\cdot \vec{w_1}\lambda\cdot 0=0, i=1,2. $$
S{\aa} g\"aller det att $\vec{w_1}+ \vec{w_2}\in W$ och $\lambda \vec{w_1}\in W,$ som visar att $W$ \"ar ett delrum till ${\bf R}^4.$

\noindent {\it (l\"osning ii)} Eftersom $\vec{v}=(x,y,z,w)\in W$ om och endast om $(x,y,z,w)\cdot (3,1,0,1)=0$ och
$(x,y,z,w)\cdot (1,1,0,0)=0$ s{\aa} kan $W$  ocks{\aa}    beskrivas som delrummet av  l\"osningarna  till f\"oljande linj\"ara homogena system med $4$ obekanta $(x,y,z,w):$
\[\left\{\begin{array}{cccc}
3x&+y&+w&=0\\
x&+y&&=0

\end{array}\right.\]
 
\item  Fr\aa n l\"osning (ii) av (a) s{\aa} ser man att en vektor i $W$ skrivs som
$$t(1,-1,0,2)+k(0,0,1,0)\text{ f\"or n\aa gra }t,k\in{\bf R}$$
som betyder att $W=Span((1,-1,0,2),(0,0,1,0)).$
Dessutom \"ar  $(1,-1,0,2)$ och $(0,0,1,0)$  linj\"art oberoende eftersom
$$t(1,-1,0,2)+k(0,0,1,0)=(0,0,0,0)\Leftrightarrow t=k=0.$$
S{\aa} \"ar $\{(1,-1,0,2),(0,0,1,0)\}$ en bas till $W$ och $\dim(W)=2.$

\end{enumerate}

\end{enumerate}





\end{document}
