\documentclass[english,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}
\markright{}

\setcounter{secnumdepth}{-2}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{}
\subsection{}
\noindent KTH, Matematik

\vskip 0.5cm
\noindent
{\bf L\"osningar till tentamen i Linj\"ar algebra, SF1604, f\"or F1 och D1, den 
17 december, 2008. }

\section*{Del I } \subsection*{(totalt 15 po\"ang, inklusive bonuspo\"ang)}
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item (1 p.) Visa att mängden $B=\left\{ (2,0,1),(1,2,4),(1,1,0)\right\} $
är en bas av ${\bf R}^{3}$. 

{\bf L\"osning: } M\"angden $B$ \"ar en bas av  ${\bf R}^{3}$ om och endast om
$$ \mathrm{det}\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 1\\
1 & 2 & 4\\
1 & 1 & 0\end{array}\right) \neq 0.$$
Vi utveckla ovanst\aa ende determinant i f\"orsta rad, och ser att den \"ar lika med
$$ 2\cdot \left(\begin{array}{rr}
 2 & 4\\
 1 & 0\end{array}\right) + 1\cdot \left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 \\
1 & 1 \end{array}\right) =-8-1=-9.$$

\item  (2 p.) Skriv vektorn $(1,0,0)$
som linjär kombination av vektorena av $B$.\\
{\bf L\"osning: } Vi letar efter $x_1,x_2,x_3$ s\aa att
$$x_1(2,0,1)+x_2(1,2,4)+x_3(1,1,0)=(1,0,0).$$
Vi m\aa ste d\"arf\"or l\"osa det linj\"ara ekvationssystem
$$ \left\{ \begin{array} {rrrcr} 
2x_1+&x_2+&x_3 &=&1\\
        & 2x_2  +&x_3&=&0\\
   x_1+&4x_2 \ \ & &=&0. \end{array}   \right.$$
Genom Gauss elimination, f\aa r vi 
$$ \left( \left. \begin{array}{rrr} 
2&1&1\\
0&2&1\\
1&4&0 \end{array} \right|  \begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right)
\rightarrow
\left( \left. \begin{array}{rrr} 
2&1&1\\
0&2&1\\
0&7&-1 \end{array} \right|  \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array} \right)
\rightarrow
\left( \left. \begin{array}{rrr} 
2&1&1\\
0&2&1\\
0&0&-9/2 \end{array} \right|  \begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1 \end{array} \right) .
$$
Det f\"oljer att $x_3=2/9$, $x_2=-x_3/2=-1/9$ och $x_1=(1-x_3-x_2)/2=(1-2/9+1/9)/2=4/9$.
\end{enumerate}
\item (a) (1 p.) Varf\"or \"ar matrisen \[
A=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3\\
0 & -1 & 2\\
0 & 0 & -2\end{array}\right)\]
inverterbar? \\
{\bf L\"osning: } D\"arf\"or att  \[
\mathrm{det}(A)=\mathrm{det}\left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3\\
0 & -1 & 2\\
0 & 0 & -2\end{array}\right)=1\cdot (-1)\cdot (-2)=2\neq 0.\]

(b) (2 p.) Beräkna inversen till $A$.\\
{\bf L\"osning: }  \[
\mathrm{adj}(A)=\left(\begin{array}{rrr}
2&0&0\\
4&-2&0\\
7&-2&-1
\end{array}\right)^t,\]
och d\"armed \"ar
\[
A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{det}(A)}\mathrm{adj}(A)=\left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 7/2\\
0 & -1 & -1\\
0 & 0 & -1/2\end{array}\right)\]


\item (3 p.) Låt $W\subset {\bf R}^3$ vara delrummet 
\[ W=\left\{ t(3,-2,1)\mid t\in{\bf R}\right\} .\]
Hitta en bas för det ortogonala komplementet $W^\perp$ relativt inre produkten 
\[
\left\langle (x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3})\right\rangle =x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}.\]
 
{\bf L\"osning: } Komplementet $W^\perp$ \"ar delrummet 
$$W^\perp=\{(z_1,z_2,z_3)\mid \left\langle (3,-2,1),(z_{1},z_{2},z_{3})\right\rangle=0 \}=\{(z_1,z_2,z_3)\mid 3z_1-4z_2+3z_3=0 \},$$
och m\"angden
$$\{ (-1,0,1),(0,3,4)\}$$
bildar en bas av $W^\perp$ d\aa m\"angden best\aa r  av tv{\aa}  linj\"ara oberoende vektorer och $\mathrm{dim}(W^\perp)=3-\mathrm{dim}(W)=2$.
 
\item  Låt $A$ vara  $2\times2$ matrisen \[
A=\left(\begin{array}{rr}
-4 & 3\\
-5 & 4\end{array}\right).\]
\begin{enumerate}
\item (1 p.) Beräkna egenvärdena av $A$. \\
{\bf L\"osning: } Vi l\"oser den karakt\"aristiska ekvationen
$$ 0=\mathrm{det}(\lambda I_2 -A)=\mathrm{det}\left(\begin{array}{rr}
\lambda+4 & -3\\
5 & \lambda-4\end{array}\right)=(\lambda+4)(\lambda-4)+15=\lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1),$$
och f\aa r att egenv\"ardena av $A$ \"ar $1$ och $-1$. 
\item  (1 p.) Beräkna egenrum av $A.$\\
{\bf L\"osning: } Egenrum $E_1$ motsvarande egenv\"arde $1$ \"ar l\"osningsrummet till
$$(I_2-A)v=\left(\begin{array}{rr}
5 & -3\\
5 & -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
v_1\\
v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
0\\
0\end{array}\right),$$
s\aa \  att
$$E_1=\mathrm{Span} \left\{ \left( \begin{array}{r}
3\\
5\end{array} \right) \right\} .$$
 Egenrum $E_{-1}$ motsvarande egenv\"arde $-1$ \"ar l\"osningsrummet till
$$(-I_2-A)v=\left(\begin{array}{rr}
3 & -3\\
5 & -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
v_1\\
v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
0\\
0\end{array}\right),$$
s\aa \ att
$$E_1=\mathrm{Span} \left\{ \left( \begin{array}{r}
1\\
1\end{array} \right) \right\} .$$
\item  (1 p.) Beräkna $A^{101}.$\\
{\bf L\"osning: }Vi b\"orjar med att diagonalisera $A$. L\aa t 
$$ P=\left(\begin{array}{rr}
3 & 1\\
5 & 1\end{array}\right)$$
vara basbytematris fr\aa n basen $\{(3,5)^t,(1,1)^t\}$ av egenvektoren till standardbasen. D\aa \ \"ar
$$A=P\left( \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & -1\end{array}\right)P^{-1},$$
och d\"arf\"or \"ar
$$A^{101}=P\left( \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & -1\end{array}\right)^{101}P^{-1}=P\left( \begin{array}{rr}
1 & 0\\
0 & -1\end{array}\right)P^{-1}=A=\left(\begin{array}{rr}
-4 & 3\\
-5 & 4\end{array}\right).$$
\end{enumerate}
\item Låt $v_{1}=(1,1,0),$ $v_{2}=(1,0,1)$ och $v_{3}=(0,1,1)$. Låt $f:{\bf R}^{3}\rightarrow {\bf R}^{3}$
vara linjära avbildningen definierad genom\[
f(v_{1})=v_{3},\; f(v_{2})=v_{1},\; f(v_{3})=v_{2}.\] \begin{enumerate}
\item (1 p.) Hitta matrisframställningen av $f$ relativt basen $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} .$\\
{\bf L\"osning: } $$\left(\begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&1 \\
1 & 0&0\end{array}\right) .
$$
\item (2 p.) Hitta matrisframställningen av $f$ relativt standardbasen.\\
{\bf L\"osning: } 
Basbytematris fr\aa n basen $\{v_1,v_2,v_3\}$ till standardbasen \"ar
$$P=\left( \begin{array}{rrr}
1&1&0\\
1&0&1\\
0&1&1 \end{array} \right).$$
D\"armed \"ar matrisframställningen av $f$ relativt standardbasen
\begin{eqnarray*}
P\left(\begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&1 \\
1 & 0&0\end{array}\right) P^{-1}&=&\left( \begin{array}{rrr}
1&1&0\\
1&0&1\\
0&1&1 \end{array} \right)\left(\begin{array}{rrr}
0&1&0\\
0&0&1 \\
1 & 0&0\end{array}\right)\left( \begin{array}{rrr}
1/2&1/2&-1/2\\
1/2&-1/2&1/2\\
-1/2&1/2&1/2 \end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rrr}
0&0&1 \\
1 & 0&0\\\
0&1&0
\end{array} \right)
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}
\end{enumerate}





\section*{DEL 2} \subsection*{(totalt 15 po\"ang, inklusive bonuspo\"ang)}

\begin{enumerate}
\item Finns det n{\aa}gra v\"arden  $a,b,c,d,e\in{\bf R}$ s\aa dana att  f\"oljande matris \"ar ortogonal?
\[\left(\begin{array}{ccc}
a&1&b\\
c&0&d\\
e&0&1\end{array}\right)\]

{\bf L\"osning: } En matris \"ar ortogonal om och endast om kolonvektorerna utg\"or en ON bas.

Vektorerna \"ar parvis ortogonala om och endast om:
$$ a=0, b=0, cd+e=0. $$
Vektorerna \"ar normerade om och endast om
$$c^2+a^2+e^2=1, b^2+d^2=1.$$
Man ser att det finns bara tv{\aa} m\"ojligheter:
$$(a,b,c,d,e)=(0,0,1,0,0)\text{ och } (a,b,c,d,e)=(0,0,-1,0,0).$$

\item (3 p.) Betrakta planet $\pi : 4x+ky+2z=5$ i ${\bf R}^3.$
F\"or  vilka v\"arden p{\aa} parametern $k$ \"ar linjen
\[l=\left\{\begin{array}{ccc}
x&=&2t+3\\
y&=&-t-1\\
z&=&4+t\end{array}\right.\]
vinkelr\"at (ortogonal) mot $\pi$?

{\bf L\"osning: } Linjen  \"ar vinkelr\"at (ortogonal) mot $\pi$ om den \"ar parallel med  $(4,k,2),$ normalvektorn 
till $\pi.$

Inriktningsvektorn till linjen \"ar $\vec{v}=(2,-1,1),$ och $(4,k,2)$ \"ar parallel till $(2,-1,1)$ bara om det finns ett $t\in{\bf R}$ s\aa dant att $(2,-1,1)=t(4,k,2).$ Det f\"oljer att $t=2$ och $k=-2.$

\item (3 p.) Betrakta f\"oljande delm\"angd av $M_{2,2}({\bf R})$:
$$W=\{A\in M_{2,2}({\bf R})\text{ s\aa dan att } A+A^T=0\}\subset M_{2,2}({\bf R}).$$
\begin{enumerate}
\item Visa att $W$ \"ar ett delrum till $M_{2,2}({\bf R}).$
\item Best\"am $\dim(W).$
\end{enumerate}

{\bf L\"osning: } 
\begin{enumerate}
\item L\aa t $A,B\in W.$
$$(A+B)+(A+B)^T=A+B+A^T+B^T=(A+A^T)+(B+B^T)=0+0=0$$
som visar att $A+B\in W.$

Om $A\in W$ och $\lambda\in {\bf R}$ d{\aa} g\"aller att:
$$(\lambda A)+ (\lambda A)^T=\lambda(A+A^T)=\lambda\cdot 0=0$$
som visar att $\lambda A\in W.$

\item Best\"am $\dim(W).$
\[\text{ Om }A=\left(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d\end{array}\right)\in W \Rightarrow a=d=0, b=-c\]
Detta s\"ager att f\"or varje matris $A\in W$ det finns $t\in{\bf R}$ s\aa dant att:
\[ A=t\left(\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0\end{array}\right)\text{ d.v.s } S=Span\left( \left(\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0\end{array}\right) \right)\]
och d\"arf\"or \"ar $\dim(W)=1.$
\end{enumerate}
\item (3 p.) Betrakta {\bf C} (komplexa tal) som ett tv{\aa} dimensionallt reellt vektorrum.
\begin{enumerate}
\item Visa att funktionen $F:{\bf C}\to {\bf C}, F(z)=(1+i)\overline{z}$ \"ar en linj\"ar avbildning.
\item Best\"am $\dim(Ker(F))$ och $\mathrm{rang}(F)$ ($=\mathrm{rank}(F)$).
\end{enumerate}

{\bf L\"osning: } 
\begin{enumerate}
\item L\aa t $z=\alpha+i\beta\in{\bf C},$ $z=(\alpha, \beta),$ med avseende till basen $[1, i].$ Funktionen
$F$ kan skrivas som $F(\alpha, \beta)=(\alpha+\beta, \alpha+\beta)$ eller
\[F(\alpha, \beta)=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\alpha\\
\beta\end{array}\right)\]
som visar att avbildningen \"ar linj\"ar.
\item \[\mathrm{rang}(F)=\mathrm{rang}\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
1&-1\end{array}\right)=2.\]
Eftersom \"ar $2=\dim({\bf C})=\mathrm{rang}(F)+\dim(Ker(F))$ \"ar $\dim(Ker(F))=0$, d.v.s avbildningen
\"ar en isomorfi.
\end{enumerate}
\item (3 p.) Betrakta polynomet $Q(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2xy+6xz+2yz.$
Observera att polynomet kan skrivas p{\aa} matris form som f\"oljande:
\[Q(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}
x&y&z \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&3\\
1&3&1\\
3&1&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)\]
Best\"am basbytet fr{\aa}n standardbasen till en ortonormal bas $B$, s\aa dan att
$$Q(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-2x_2^2+5x_3^2$$
d\"ar $(x_1,x_2,x_3)$ \"ar koordinaterna med avseende p{\aa} basen $B.$

{\bf L\"osning: } L\aa t
\[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&3\\
1&3&1\\
3&1&1 \end{array}\right).\]

$A$ \"ar symmetrisk och d\"arf\"or den \"ar ortogonalt diagonalizerbar.\\
Egenv\"arderna till $A$:\\
$p_A(\lambda)=-\lambda^3+5\lambda^2+4\lambda-20=0$ ger:
$$\lambda=2,-2,5.$$
F\"or att hitta l\"osningarna kan man dela  $p_A(\lambda)$ med $(\lambda-2),$  $p_A(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda^2-3\lambda-10)=(\lambda-2)(\lambda+2)(\lambda-5).$\\
Egenvektorer:
Man ber\"aknar f\"oljande egenrum:
$$E_2=Span((1,-2,1)), E_{-2}=Span(1,0,-1), E_5=Span(1,1,1).$$

Detta betyder att med avseende till  den ON basen av egenvektorer $B=(\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)), \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1))$ s{\aa} \"ar 
$$Q(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-2x_2^2+5x_3^2$$
 Basbytematris fr\aa n B till standardbasen \"ar:
 \[O= \left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{-2}{\sqrt{6}}&0&\frac{1}{\sqrt{3}}\\
\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right).\]
Och Basbytematris fr\aa n standardbasen  till B \"ar $O^T.$
 \end{enumerate}
 

\section*{DEL 3}

\begin{enumerate}
\item (5 p.) L\aa t $F:{\bf R}^n\to {\bf R}^n$ vara en linj\"ar avbildning s{\aa}dan att $F\neq id_{ {\bf R}^n}$ och s{\aa}dan att
$F\circ F=F.$ Visa att:
\begin{enumerate}
\item $F$ inte kan vara en isomorfi. 
\item Egenv\"ardena till $F$ kan bara vara lika med $0$ eller $1.$
\end{enumerate}
{\bf L\"osning: }
\begin{enumerate}
\item Om $F$ vara en isomorfi s{\aa} skulle $F$ vara inverterbar, som inneb\"ar att:
$$F=F^{-1}\circ F\circ F=F^{-1}\circ F=id_{ {\bf R}^n}.$$
Eftersom vi antar att  $F\neq id_{ {\bf R}^n}$ s{\aa} kan $F$ inte vara inverterbar.
\item
L\aa t $\lambda$ vara ett egenv\"arde till $F,$ d.v.s $F(\vec(v))=\lambda \vec{v}$ f\"or n\aa gon vektor $\vec{v}\neq 0.$(Vi vet att $\lambda=0$ \"ar  ett egenv\"arde eftersom $\det([F])=0$)
Det f\"oljer att:
$$F\circ F(\vec{v})=F(\lambda \vec{v})=\lambda F( \vec{v})=\lambda^2\vec{v}$$
och $F\circ F(\vec{v})= F(\vec{v})=\lambda \vec{v}.$
Fr\aa n $\lambda \vec{v}=\lambda^2\vec{v}$ s{\aa} ser man att $\lambda(\lambda -1)=0.$

\end{enumerate}


\item (5 p.) L\aa t $\lambda$ vara ett godtyckligt reellt tal. Betrakta matriserna 
$$A_2=\left( \begin{array}{rr} \lambda & 1\\ 1&\lambda \end{array}\right), \ A_3=\left( \begin{array}{rrr} \lambda & 1&0\\ 0&\lambda &1 \\ 1& 1& \lambda \end{array}\right), ...,\  A_n=  
\left(\begin{array}{rrrrr}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots\\
\vdots & \ddots & \lambda & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & \ddots & 1\\
1 & \cdots &\cdots & 1  \ \ & \lambda\end{array}\right).$$
Ber\"akna, genom
induktion, determinanten av matrisen $A_n$.\\
{\bf L\"osning: } P\aa st\aa ende: 
$$\mathrm{det}(A_n)=\lambda^n-\lambda^{n-2}+\lambda^{n-3}+...+(-1)^n\lambda +(-1)^{n+1}.$$
Bevis genom induktion: 
\begin{itemize}
\item {\bf Basfall: } $n=2$: 
$$\mathrm{det}(A_2)=\mathrm{det}\left( \begin{array}{rr} \lambda & 1\\ 1&\lambda \end{array}\right) =\lambda^2-1.$$
\item {\bf Induktionssteg: } Antag att p\aa st\aa ende \"ar sann f\"or $n-1$. Vi har 
\begin{eqnarray*}
\mathrm{det}(A_n)&=&\lambda \mathrm{det}(A_{n-1})+(-1)^{n+1}\\
&=& \lambda(\lambda^{n-1}-\lambda^{n-3}+\lambda^{n-4}+...+(-1)^{n-1}\lambda +(-1)^{n})+(-1)^{n+1}\\
&=&\lambda^n-\lambda^{n-2}+\lambda^{n-3}+...+(-1)^n\lambda +(-1)^{n+1},
\end{eqnarray*}
som visar att p\aa st\aa endet \"ar sann f\"or $n$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}
\end{document}
