\documentclass[fleqn,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}
\markright{}

\setcounter{secnumdepth}{-2}
%\setlength{\unitlength}{1mm}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{}
\subsection{}
\noindent KTH, Matematik

\vskip 0.5cm
\noindent
{\bf Tentamen i Linj\"ar algebra, SF1604, f\"or F1 och D1, den 
17/12  2008. }


\section*{Del I (totalt 15 po\"ang inklusive bonuspo\"ang)}

\begin{enumerate}
\item a) (1pt) Visa att mängden $B=\left\{ (2,0,1),(1,2,4),(1,1,0)\right\} $
är en bas av ${\bf R}^{3}$.\\b) (2pt) Skriv vektorn $(1,0,0)$
som linjär kombination av vektorena av $B$.
\item (3 pt) Beräckna inversen till matrisen\[
\left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3\\
0 & -1 & 2\\
0 & 0 & -2\end{array}\right).\]

\item (3 pt) Betrackta den inreprodukt \[
\left\langle (x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3})\right\rangle =x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+3x_{3}y_{3}\]
på ${\bf R}^{3}$. Hitta en bas för den ortogonala komplementen
(relativ ovanstående inreprodukten) av \[
W=\left\{ t(3,-2,1)\mid t\in{\bf R}\right\} .\]
 
\item Låt $A$ vara den $2\times2$ matrisen \[
A=\left(\begin{array}{rr}
-4 & 3\\
-5 & 4\end{array}\right).\]
(a) (1 pt) Beräkna egenvärdena av $A$. \\(b) (1 pt) Beräkna egenvekotrena
av $A$\\(c) (1 pt) Beräkna $A^{100}$.
\item Låt $v_{1}=(1,1,0),$ $v_{2}=(1,0,1)$ och $v_{3}=(0,1,1)$. Låt $f:{\bf R}^{3}\rightarrow {\bf R}^{3}$
vara linjära avbildningen definierad genom\[
f(v_{1})=v_{3},\; f(v_{2})=v_{1},\; f(v_{3})=v_{2}.\]
a) (1 pt) Hitta matrisframställningen av $f$ relativ basen $\left\{ v_{1},v_{2},v_{3}\right\} .$\\b)
(2 pt) Hitta matrisframställningen av $f$ relativ standardbasen.
\end{enumerate}


\section*{DEL 2(totalt 15 po\"ang inklusive bonuspo\"ang)}


\begin{enumerate}
\item Finns det n{\aa}gra v\"arden  $a,b,c,d,e\in{\bf R}$ s\aa dana att  f\"oljande matris \"ar ortogonal?
\[\left(\begin{array}{ccc}
a&1&b\\
c&0&d\\
e&0&1\end{array}\right)\]

\item Betrackta planet $\pi : 4x+ky+2z=5$ i ${\bf R}^3.$
F\"or  vilka v\"arden p{\aa} parameter $k$ \"ar linjen
\[l=\left\{\begin{array}{ccc}
x&=&2t+3\\
y&=&-t-1\\
z&=&4+t\end{array}\right.\]
vinkelr\"at (ortogonal) mot $\pi?.$
\item Betrackta f\"oljande delm\"ang:
$$W=\{A\in M_{2,2}({\bf R})\text{ s\aa dan att } A+2A^T=0\}\subset M_{2,2}({\bf R}).$$
\begin{enumerate}
\item Visa att $W$ \"ar ett delrum till $M_{2,2}({\bf R}).$
\item Best\"am $\dim(W).$
\end{enumerate}

\item Betrackta {\bf C} (komplexa tal) som en tv{\aa} dimensionella reella vektorrum.
\begin{enumerate}
\item Visa att funktionen $F:{\bf C}\to {\bf C}, F(z)=(1+i)\overline{z}$ \"ar en linj\"ar avbildning.
\item Best\"am $\dim(Ker(F))$ och $rang(F).$


\end{enumerate}
\item Betrackta polynomet $Q(x,y,z)=x^2+3y^2+z^2+2xy+6xz+2yz.$
Observera att polynomet kan skrivas p{\aa} matris form som f\"oljande:
\[Q(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}
x&y&z \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&3\\
1&3&1\\
3&1&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)\]
Visa att det finns ett basbyte, fr{\aa}n stardardbasen till en bas $B$, s\aa dant att
$$Q(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2-2x_2^2+5x_3^2$$
d\"ar $(x_1,x_2,x_3)$ \"ar koordinaterna med avseende till basen $B.$

 \end{enumerate}
 

\section*{DEL 3}


L\aa t $F:{\bf R}^n\to {\bf R}^n$ vara en linj\"ar avbildning s{\aa}dan att $F\neq 0, F\neq id_{ {\bf R}^n}$ och s{\aa}dan att
$F\circ F=F.$ Visa att:
\begin{enumerate}
\item $F$ kan inte vara en isomorfi. 
\item Egenv\"ardena till $F$ kan bara vara lika med $0$ eller $1.$
\end{enumerate}
\item (3 pt) Låt $\lambda$ vara en godtyckligt reel tal. Beräkna, genom
induktion, determinanten av $n\times n$ matrisen\[
\left(\begin{array}{rrrrr}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots\\
0 & 1 & \lambda & \ddots & 0\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\
0 & \cdots & 0 & 1 & \lambda\end{array}\right).\]
\end{enumerate}
\end{document}
