\documentclass[fleqn,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}
\markright{}

\setcounter{secnumdepth}{-2}
%\setlength{\unitlength}{1mm}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{}
\subsection{}
\noindent KTH, Matematik

\vskip 0.5cm
\noindent
{\bf Lappskrivning nummer 3  till kursen Linj\"ar algebra, SF1604, f\"or F1 den 
7/11  2008, 
10:15-10:55. }
\vskip 0.3cm
\noindent
{Namn/person-nummer: }


\vskip 0.3cm
\noindent
{Resultat: }

\vskip 0.3cm
\noindent
{Godk\"and p{\aa} uppgift 1 ger 1 bonus po\"ang till Del I av tentamen och omtentamen. 
Godk\"and p{\aa} uppgift 2 ger 1 bonus po\"ang till Del II av tentamen och omtentamen.}

\vskip 0.3cm
\noindent
{\bf OBS Svaret skall motiveras och l\"osningen skrivas, ordentligt och klart, p{\aa} detta pappers fram- 
och baksida. Inga hj\"alpmedel \"ar till{\aa}tna.}
\begin{enumerate}
\item  L\aa t $F:{\bf R}^3\to {\bf R}^3$ vara den linj\"ara avbildning definierad av $F(x,y,z)=(2x+y,x-z,z)_S$ (med avseende till standard basen $S=((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)).$). Best\"am om det finns en bas $B$ till ${\bf R}^3$ s\aa dan att:
\[[F]_B^S=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
2&-1&1\\
1&2&3
\end{array} \right)\]
($[F]_B^S$ betecknar matrisen till $F$, med avseende till basen $B$ och $S$, d.v.s. \\ $[F]_B^S (v)_B=(F(v))_S.$)

L\"osning a):
Eftersom \"ar \[[F]_S^S=\left(\begin{array}{ccc}
2&1&0\\
1&0&-1\\
0&0&1
\end{array}\right), \det([F]_S^S=1\]
s{\aa} \"ar  $R(F)=C([F]_S^S)={\bf R}^3.$
Men om det fanns en bas s\aa dan att \[[F]_B^S=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
2&-1&1\\
1&2&3
\end{array} \right), \det([F]_B^S)=0\]
s{\aa} skulle detta betyda att $\dim(R(F))<3.$ S{\aa}\"ar  svaret  nej.



L\"osning b): L\aa t $B=(v_1,v_2,v_3)$, $v_i=(x_i,y_i,z_i)_S, i=1,1,3,$ s{\aa } att 
\[[F]_B^S=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
2&-1&1\\
1&2&3
\end{array} \right)\]
Detta betyder att kolonnerna skulle motsvar $T(v_i)_S,$ d.v.s :
\[\left\{\begin{array}{ccccc}
T(v_1)&=&(2x_1+y_1,x_1-z_1,z_1)_S&=&(1,2,1)\\
T(v_2)&=&(2x_2+y_2,x_2-z_2,z_2)_S&=&(0,-1,2)\\
T(v_3)&=&(2x_3+y_3,x_3-z_3,z_3)_S&=&(1,1,3)
\end{array}\right.\]

Vi har d{\aa} $3$ system,
\[\left\{\begin{array}{ccccc}
2x_1&+y_1&&=&1\\
x_1&&-z_1&=&2\\
&&z_1&=&1\end{array}\right., \left\{\begin{array}{ccccc}
2x_2&+y_2&&=&0\\
x_2&&-z_2&=&-1\\
&&z_2&=&2\end{array}\right., \left\{\begin{array}{ccccc}
2x_3&+y_3&&=&1\\
x_3&&-z_3&=&1\\
&&z_3&=&3\end{array}\right.\]
som ger $v_1=(3,-5,1),v_2=(1,-2,2), v_3=(4,-7,3).$

Men $v_1=(3,-5,1),v_2=(1,-2,2), v_3=(4,-7,3)$ \"ar linj\"art beroende eftersom
\[\det\left(\begin{array}{ccc}
3&1&4\\
-5&-2&-7\\
1&2&3
\end{array}\right)=0\]
Detta s\"ager att vektorerna kan inte utg\"ora en bas.
\end{enumerate}
\end{document}
