\documentclass[fleqn,swedish]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}


\setcounter{secnumdepth}{-2}
%\setlength{\unitlength}{1mm}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{Extra uppgifter inf\"or kontrollskrivning 1}
\begin{enumerate}
\item  Best\"am, samtliga l\"osningar till  ekationssystemet
\[\left\{\begin{array}{ccccccc}
2x&+&3y&+&4z&=&4\\
x&+&2y&+&5z&=&0\\
x&+&3y&-&z&=&6\end{array}\right.\]

\item  Best\"am, samtliga l\"osningar till  ekationssystemet
\[\left\{\begin{array}{ccccccc}
2x&+&3y&-&4z&=&8\\
-x&+&5y&+&z&=&10\\
x&-&18y&+&z&=&-38\end{array}\right.\]

\item  F\"or vilka v\"arden p{\aa} talen $a$ och $b$ saknar systemet 
\[\left\{\begin{array}{ccccccccc}
2x&+&3y&-&4z&+&u&=&8\\
-x&+&5y&+&z&+&2u&=&10\\
x&-&18y&+&z&+&au&=&-38\end{array}\right.\]
l\"osningar.


\item L\aa t $A,B\in M_{n,n}({\bf R}).$  \"Ar det sant eller falskt att 
$$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$$

\item L\aa t $A,B,C\in M_{n,n}({\bf R})$ vara matriser s\aa dana att $AB=BC.$ Visa att $A^nB=BC^n.$ 
\item  En matris $A\in M_{n,n}({\bf R})$ kallas idempotent om $A^2=A.$ Visa att om  $A$ \"ar idempotent
s{\aa} \"ar $A^T$ och $I_n-A.$


\item  L\aa t $A\in M_{n,n}({\bf R})$ vara en matris s\aa dan att $A^k=0$ f\"or n\aa got positivt heltal $k>0.$ Visa att $I_n+A$ \"ar inverterbar.

\item L\aa t 
\[ A=\left(\begin {array}{ccc}
1&1&1\\
2&1&2\\
1&1&2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}
1&-3\\
2&1\\
-1&5\end{array}\right)\]
Ber\"akna:
$$(A^2)^{-1},\;\; (2A)^{-1},\;\;(2A^{-1})^T,\;\; (B^T A^{-1} B)^T\text{ och }\;(B^TA^{-1}B)^{-1}.$$





\end{enumerate}

\end{document}
