Partialderivata med avseende på  x 
 
Genom att fixera  y0  och låta  x  variera runt  x0  bestäms partialderivatan  fx' ( x0, y0 )  av  f  i punkten  ( x0, y0 ) .  
Den ger ett mått på förändringen av  f  i  x -led i punkten  ( x0, y0 ) .

 

 
Partialderivata med avseende på  y 
 
Genom att fixera  x0  och låta  y  variera runt  y0  bestäms partialderivatan  fy' ( x0, y0 )  av  f  i punkten  ( x0, y0 ) .
 
Den ger ett mått på förändringen av  f  i  y -led i punkten  ( x0, y0 ) .

 

 
Den dansande pinnen
 
Figuren illustrerar grafen till funktionen  f(x,y) = xy/(x2+y2)  och  f(0,0)=0.
 
Funktionen är partiellt deriverbar i  (0,0)  med
 
    fx'(0,0) = 0
    fy'(0,0) = 0,
 
men inte kontinuerlig i  (0,0) .

 

 

 
Differentierbarhet
 
Funktionen  f(x)  är differentierbar i  a  om det finns  A  så att det relativa felet
R(x) =  f(x) - f(a) - A·(x - a)
|x - a|
går mot  0  när  x  går mot  a .
 
När  f(x)  är differentierbar i  a  är  f(x)  också partiellt deriverbar där och
A = gradf(x) = (f1'(a), . . . ,fn'(a)).

När  f(x)  är differentierbar i  a  är  f(x)  också kontinuerlig där.