Inversa funktionssatsen (två variabler)
 
Figuren visar koordinatkurvor i  x, y - planet. Punkten  ( 0, 0)  och linjen  y = -x  är markerade. Figuren illustrerar effekten av funktionen  f( x, y) = ( x + y, x2/5 - y2/5)  på rutnätet i figuren till vänster.
Observera att punkter längs den svarta linjen alla avbildas på origo. Funktionen är därför inte inverterbar i någon omgivning till origo.
 
I figuren syns effekten av funktionen  f( 0, 0) + df(0,0)( x, y)
I figuren syns effekten av  f  och funktionen
 f( 0, 0) + df(0,0)( x, y) 
  Eftersom  det(df(0,0)) = 0  är  f  ej inverterbar i närheten av  (0,0) . 
 

 

 

 
Implicita funktionssatsen
 
Figuren visar nivåytan  F( x, y, z) = 3 sin(25/4)  där  F( x, y, z) = sin(xy) + sin(yz) + sin(xz) .
På ytan har punkten  a = ( 5/2, 5/2, 5/2)  markerats.
 
Eftersom  Fz'( a)0  kan man i en omgivning till  ( x, y) = ( 5/2, 5/2)  finna en (C1-)funktion  f( x, y) med
  1. f( 5/2, 5/2) = 5/2
  2. F( x, y, f( x, y)) = 3 sin(25/4)) .
Variabeln  z  är alltså i sambandet som ger nivåytan lokalt kring  a  en funktion av de övriga variablerna.
 
Derivering av  2)  ger enligt kedjeregeln
  • Fx'+Fz'fx' = 0
  • Fy'+Fz'fy' = 0
som leder till  fx'( 5/2, 5/2) = fy'( 5/2, 5/2) = -1. Detta ger Taylorutvecklingen
 
f( x, y) = 5/2 - (x - 5/2) - (y - 5/2) + |(x,y)-(5/2, 5/2)|2B( x, y) ,
där  B  är begränsad nära  ( 5/2, 5/2) .

 

 

 
Implicita funktionssatsen och snitt mellan ytor
 
Figuren visar nivåytorna
 F = x2 - y2 - z2 = 4
 G = x2 + 2y2 + 3z2 = 20.
På snittet har punkten  a = ( 3, 2, 1)  markerats.
En kalkyl visar att i denna punkt är
Fx'     Fy'
Gx'     Gy' 		 =  6    -4
6     8 		  0
vilket ger att det finns funktioner  f  och  g  runt  z = 1  så att
  • f(1) = 3  och  g(1) =  = 2
  • F( f(z), g(z), z) = 4  och  G( f(z), g(z), z) = 20 
Derivering av detta kan användas för att bestämma  f'(1) = -1/9  och  g'(1) = -2/3  och därmed början på en Taylorutveckling av funktionerna.
 
I detta fall kan  x  och  y  lösas ut direkt ur  F = 4  och  G = 20:
  •  x = ((28-z2)/3)
  •  y = ((16-4z2)/3)