MaHi 2013
Hemuppgifter
OM Du tycker att ngn uppgift nedan bör skrivas om,
kontakta då föreläsaren.
OBS. Nedan skriver vi ofta xx i stället för
x ^2 alias x i kvadrat.
*****************
Visa att parallellpostulatet behövs
för att kunna visa att
vinkelsumman i en (vanlig plan) triangel är lika med två räta
vinklar alias 180 grader.
Visa satsen om centrumvinkel och periferivinkel.
Visa att cirkelns symptom yy = x ( D - x )
övergår i cirkelns vanliga ekvation om
man byter koordinater.
Visa hur man från symptomen för ellips och hyperbel hos
Apollonios
yy = px (plus eller minus ) px/2a
kan få dessa kägelsnitts vanliga ekvationer innehållande
termerna
uu/aa och vv/bb.
Givet en parabel med symptom yy = px. Sök finna sträckan p
i y-led i figuren. Finn det någon koppling till parabelns
brännpunkt (fokus)?
Givet en parabel P med symptom (ekvation) xx = qy i ett rätvinkligt
kartesiskt koordinatsystem. Inför nya snedvinkliga koordinater
( u , v ) på följande sätt:
u-axeln är lika med x-axeln, medan
v-axeln pekar snett uppåt höger i det gamla
( x , y ) - systemet,
dvs snett in i ( x , y ) - systemets första kvadrant.
a) Bestäm ekvationen (E) för kurvan P i det nya
snedvinkliga koordinatsystemet (u , v ).
b) Rita nu i ett *RÄTVINKLIGT* koordinatsystem ( u , v ) upp
den kurva, som ges av ekvationen (E). Huvuddelen av denna nya kurva Q
kommer att ligga uti
( u , v ) -systemets *ANDRA* kvadrant.
c) Inför nu i det rätvinkliga ( u , v ) - planet
NYA RÄTVINKLIGA koordinater
koordinater ( z , w ), sådana att kurvan Q
får ekvationen az = ww. Både q och a är
parametrar.
Givet en parabel P med ekvation xx = qy, där som vanligt
x-axeln pekar åt höger och y-axeln pekar rakt upp.
Antag att en rät linje
L skär P uti exakt EN punkt. Visa att linjen L då
MÅSTE vara antingen en tangentlinje till P, eller
en lodrät linje.
Givet en godtycklig parabel P i planet. Låt A vara en
godtycklig punkt på P. Låt T vara tangenten till P
i punkten A och låt L vara en ANNAN linje genom A som
inte skär parabeln P i någon annan punkt.
Låt nu T vara r-axel och L vara s-axel i ett
(i allmänhet snett) koordinatsystem.
Visa att ekvationen för parabeln P uti detta nya
koordinatsystem blir utomordentligt enkel, nämligen av typ
rr = bs , där b är en parameter.
Sök förhållandena U : S : V , där
S är arean av ett parabelsegment,
U är arean av den största triangel som ryms inuti
parabelsegmentet
(största inskrivna triangel), och
V är arean av den minsta triangel, som
parabelsegmentet ryms inuti
(minsta omskrivna triangel).
Denna uppgift får lösas medelst koordinater.
Visa att diagonalen i en kvadrat ej är kommensurabel med
sidan i kvadraten.
Generera t ex fem olika pythagoreiska taltripplar genom att se
på Gaussiska heltal av typen
w = ( a + i b )^2 , där
a och b är vanliga heltal.
Flera olika talförhållanden kallas "Gyllene Snittet".
Beräkna det positiva talet x om
x + 1 = 1/x ,
både exakt och som närmevärde.
Dito för det positiva tal u som uppfyller
u - 1 = 1/u .
Vad är sambandet mellan de positiva talen x och u?
Det tal som ges av kedjebråket
[ 1 ; 1 , 1 , 1 , ... ]
betecknas ibland med den grekiska bokstaven fi = phi.
Beräkna detta tal exakt och jämför med talet u
i föregående uppgift.
Verifiera att (kvadrat)roten ur 2 har kedjebråket
[ 1 ; 2 , 2 , 2 , ... ].
Visa att alla parabler är likformiga.
Visa att tvenne ellipser är likformiga omm (om och endast om)
kvoten mellan storaxel och lillaxel är lika.
Vad krävs för att två hyberbler skall vara likformiga?
En punkt A speglas i en cirkel S med medelpunkt M och radie R.
Spegelpunkten kallas B. Visa att MA gånger MB = R i kvadrat.
Fortsättning på föregående uppgift.
Vad kan sägas om gv (gränsvärdet) av kvoten
MA minus R genom R minus MB
då punkten A går mot cirkeln S?
Försök visa Ptolemaios' vackra sats för en
fyrsiding, som är inskriven i en cirkel:
Produkten av diagonalernas längder är lika med
summan av produkterna av de parvis motstående sidornas
längder.
* * Kan Du visa Menelaos' vackra sats om förhållandet
mellan sex sträckor då en rät linje skär
två sidor i en triangel och förlängningen av
triangelns tredje sida?
(Huvudräkning anbefalles.) Beräkna en approximation
med TVÅ hexagesimaler till kordan för EN grad i en
cirkel med radien sextio, genom att utgå från (det
arithmetiska) medelvärdet av Arkhimedes' två
kända begränsningar för kvoten mellan
perimetern och diametern i en godtycklig cirkel.
Visa att hyperbelns symptom löser ett fyr-linje-problem
(ett locus-problem).
Använd den s. k. Cardanos formel (publicerad år 1545 i
den berömda boken Ars Magna, sive de regulis algebraicis)
för att EXAKT lösa ekvationen
--- ( ekvation paa kommande haer ) ---