HEMUPPGIFTER. SF2719 MATEMATIKENS HISTORIA år 2014.
Listan daterad 20 maj 2014.
Den kan komma att revideras något till
nästa kursomgång.
OM Du tycker att ngn uppgift nedan bör skrivas om,
kontakta då föreläsaren.
OBS. Nedan skriver vi ofta xx i stället för
x ^2 alias x i kvadrat.
*****************
1) Visa att parallellpostulatet behövs
för att kunna visa att
vinkelsumman i en (vanlig plan) triangel är lika med två räta
vinklar alias 180 grader.
2) Visa satsen om centrumvinkel och periferivinkel. Flera olika
fall behöver behandlas.
3) Visa att cirkelns symptom yy = x ( D - x )
övergår i cirkelns vanliga ekvation om
man byter koordinater.
4) Visa hur man från symptomen för ellips och hyperbel hos
Apollonios
yy = px (plus eller minus ) pxx/2a
kan få dessa kägelsnitts vanliga ekvationer innehållande
termerna
uu/aa och vv/bb.
5) Givet en parabel med symptom yy = px. Sök finna sträckan p
i y-led i figuren. Finns det någon koppling till parabelns
brännpunkt (fokus)? Sträckan p *finns* nämligen i
figuren, och är *kopplad* till focus. Rita figur!
6 a ) Givet en parabel P med ekvation xx = qy, där som vanligt
x-axeln pekar åt höger och y-axeln pekar rakt upp.
Antag att en rät linje
K skär P uti exakt EN punkt. Visa att linjen K då
MÅSTE vara ANTINGEN en tangentlinje till P, ELLER
en lodrät linje. (Det finns alltså *exakt*
tvenne räta linjer med detta villkor!) Rita figur!
6 b ) (Denna uppgift bygger på föregående uppgift.)
Givet en godtycklig parabel P i planet. Låt A vara en
godtycklig punkt på P. Låt T vara tangenten till P
i punkten A och låt L vara den (enligt 6 a unika)
ANDRA linjen genom A, som
inte skär parabeln P i någon annan punkt.
Låt nu T vara r-axel och L vara s-axel i ett
(i allmänhet snett) koordinatsystem.
Visa att ekvationen för parabeln P uti detta nya
koordinatsystem blir utomordentligt enkel, nämligen av typ
rr = bs , där b är en parameter.
7) Beräkna *själv (t ex med kalkyl)
förhållandena U : S : V , där
S är arean av ett parabelsegment,
U är arean av den största triangel som ryms inuti
parabelsegmentet
(största inskrivna triangel), och
V är arean av den minsta omskrivna triangel, som
har två hörn gemensamma med både
parabelsegmentet och den ovannämnda inskrivna triangeln.
Denna uppgift får lösas medelst koordinater.
Rita figur!
8) Visa att diagonalen i en kvadrat ej är kommensurabel med
sidan i kvadraten.
9) Generera t ex fem olika pythagoreiska taltripplar genom att se
på Gaussiska heltal av typen
w = ( a + i b )^2 , där
a och b är vanliga heltal.
10) Flera olika talförhållanden kallas "Gyllene Snittet".
Beräkna det positiva talet x om
x + 1 = 1/x ,
både exakt och som närmevärde.
Dito för det positiva tal u som uppfyller
u - 1 = 1/u .
Vad är sambandet mellan de positiva talen x och u?
11) Det tal som ges av kedjebråket
[ 1 ; 1 , 1 , 1 , ... ]
betecknas ibland med den grekiska bokstaven fi = phi.
Beräkna detta tal exakt och jämför med talet u
i föregående uppgift.
12) Verifiera att (kvadrat)roten ur 2 har kedjebråket
[ 1 ; 2 , 2 , 2 , ... ].
13) Visa att alla parabler är likformiga.
14) Visa att tvenne ellipser är likformiga omm (om och endast om)
kvoten mellan storaxel och lillaxel är lika.
15) Vad krävs för att två hyberbler skall vara likformiga?
16 a ) En punkt A speglas i en cirkel S med medelpunkt M och radie R.
Spegelpunkten kallas B. Visa att MA gånger MB = R i kvadrat.
16 b ) Fortsättning på föregående uppgift.
Vad kan sägas om gv (gränsvärdet) av kvoten
MA minus R genom R minus MB
då punkten A går mot cirkeln S?
17) Försök visa Ptolemaios' vackra sats för en
fyrsiding, som är inskriven i en cirkel:
Produkten av diagonalernas längder är lika med
summan av produkterna av de parvis motstående sidornas
längder.
* * 18) Kan Du visa Menelaos' vackra sats om förhållandet
mellan sex sträckor då en rät linje skär
två sidor i en triangel och förlängningen av
triangelns tredje sida?
19) (Huvudräkning anbefalles.) Beräkna en approximation
med TVÅ hexagesimaler till kordan för EN grad i en
cirkel med radien sextio, genom att utgå från (det
arithmetiska) medelvärdet av Arkhimedes' två
kända begränsningar för kvoten mellan
perimetern och diametern i en godtycklig cirkel.
20) Visa att hyperbelns symptom löser ett fyr-linje-problem
(ett locus-problem).
21) Använd den s. k. Cardanos formel (publicerad år 1545 i
den berömda boken Ars Magna, sive de regulis algebraicis)
för att EXAKT lösa ekvationen
--- ( ekvation paa kommande haer ) ---