4.DER              Derivator

Arbetsblad 4b: Summering


  1. Derivering.
    • Definition av derivata (samt höger- och vänsterderivata).
    • Derivatalistan (=listan på derivatorna av de elementära funktionerna.)
    • Produkt- och kvotregeln.
    • Kedjeregeln .
    • Användning av logaritmlagar före deriveringen förkortar ibland beräkningarna.
    • Högre derivator.

  2. Implicit derivering.
    • Funktioner kan deriveras även om de inte förekommer explicit i högerledet.
    • Derivatan av y med avseende på x skrivs y'. Derivatan av x med avseende på x blir 1.
    • Efter en implicit derivering uppstår ett samband mellan x, y och y', där y' alltid kan lösas ut.

  3. Extremvärdesproblem.
    • Rolles sats och medelvärdessatsen leder till:
    • Sambanden mellan derivatans tecken och funktionens växande eller avtagande.
    • I punkter på en funktionsgraf där y'=0 är tangenten vågrät och punkten kan svara mot ett extremvärde.
    • Extremvårdets lokala karaktär bestäms av derivatans tecken (dvs funktionens växande eller avtagande) på båda sidor om punkten.
    • Andraderivatans tecken ger också informatiom om samma sak (y''>0: lokalt min, y''<0: lokalt max)
    • Punkter där funktionen inte är deriverbar måste undersökas speciellt. (Ex.vis då |x| förekommer.)

  4. Kurvskissering, värdemängd och olikheter.
    • Dessa problem behandlas lämpligen genom undersökning av derivatans tecken.
    • Undersökningen sker helst i en teckentabell med plats både för x-värden (derivatans 0-ställen) och intervallen mellan dessa 0-ställen.
    • Då undersökningen sker på ett obegränsat intervall eller där funktionen inte är definierad i en ändpunkt av existensintervallet, får man använda gränsvärden istället för funktionsvärden i teckentabellen.