6. LDI              Linjära differentialekvationer

Arbetsblad 6b: Summering

  1. Komplexa tal.
    • i2= -1.
    • Omskrivning av bråkuttryck till normalform med hjälp av konjugatregel-knepet.
    • Realdel, imaginärdel, belopp och konjugat.
    • Komplexa tal på polärform. Argumentvinkeln.
    • Geometrisk tolkning av komplex multiplikation med hjälp av polära formen.
      Ex: Multiplikation med 'i' ger vridning 90 grader i positiv led.
    • Eulers formel.

  2. Polynom.
    • Nollställena till reella polynom förekommer som konjugerade par.
      (Så att om 1+i är en rot så är också 1-i en rot.)
    • Faktorsatsen gäller även komplexa tal a och komplexa polynom P:
      P(a)=0 om och endast om (x-a) är en faktor i P(x), dvs P(x)=(x-a)Q(x), där Q(x) är ett polynom.
    FB 6.3
  3. Homogena lösningar.
    • En allmän linjär differentialekvation med konstanta koefficienter kan skrivas
      L(D)y=h(x), där L är ett polynom och D står för deriveringsoperationen.
    • Den homogena lösningen yH är lösningen till L(D)y=0..
    • Den homogena lösningen bestäms av de komplexa lösningarna r till den karakteristiska ekvationen L(r)=0.
    • I fallet andra ordningens LDI finns det tre fall:
      1. Två reella rötter
      2. En reell dubbelrot.
      3. Två konjugerade komplexa rötter. som ger upphov till motsvarande tre typer av homogena lösningar.
    • Den homogena lösningen innehåller ett antal obestämda konstanter (lika många som diff.ekvationens ordning).

  4. Partikulärlösningar
    • Den allmänna lösningen till en linjär differentialekvation kan skrivas y=yH + yP, där yP är en (vilken som helst) partikulärlösning, dvs en lösning till ickehomogena ekvationen L(D)y=h(x).

    • Tekniken att bestämma en partikulärlösning beror på hur högerledet h(x) ser ut.
    • Om h(x) är ett polynom av grad n ansätts i normalfallet yP=allmänt polynom av grad n. (Ex. n=2, yP=ax2+bx+c).
    • Viktigt undantag från ovanstående: Om y saknas i diff.ekvationens vänsterled ansätts istället ett polynom av grad n+1. (Om y' också saknas blir graden n+2 osv.)

    • Om h(x)=Aekx ansätts en lösning z(x)ekx.
    • Förskjutningsregeln ( L(D)z(x)ekx=ekxL(D+k)z(x) ) underlättar bestämningen av z(x).
    • Ovanstående går också att tillämpa då h(x) har en trigonometrisk faktor. Man använder Eulers formel som ger eaxcos bx = Re( e(a+ib)x) osv.
    • Resonans inträffar då k (exponentkoefficienten i h(x) uppfyller L(k)=0. Detta gäller även då k är komplext. Partikulärlösningen tas fram med samma metod i resonansfallet. Man kommer att stöta på undantagsfallet för polynom ovan vid resonans.
    • Om flera termer förekommer i högerledet bestäms en parikulärlösning för en högerledsterm i taget, yP1, yP2, ... . Den totala partikulärlösningen blir yP= yP1+ yP2+... .
    • Då tillräckligt många begynnelsevillkor är givna (Ex. y(0), y'(0) är givna för en andra ordningens ekvation) får man en unik lösning genom att bestämma de obestämda konstanter som ingår i allmänna lösningen. Detta sker genom insättning av x=0 i allmänna lösningen y och dess derivator y',... .
    FB 6.5a