7. LDI              Linjära differentialekvationer

Arbetsblad 7b: Summering

1. Homogena lösningar.
   • En allmän linjär differentialekvation med konstanta koefficienter kan skrivas
     L(D)y=h(x), där L är ett polynom och D står för deriveringsoperationen.
   • Den homogena lösningen y_H är lösningen till L(D)y=0..
   • Den homogena lösningen bestäms av de komplexa lösningarna r till den karakteristiska ekvationen L(r)=0.
   • I fallet andra ordningens LDI finns det tre fall:
     1. Två reella rötter
     2. En reell dubbelrot.
     3. Två konjugerade komplexa rötter.
     som ger upphov till motsvarande tre typer av homogena lösningar.
   • Den homogena lösningen innehåller ett antal obestämda konstanter (lika många som diff.ekvationens ordning).

2. Partikulärlösningar
   • Den allmänna lösningen till en linjär differentialekvation kan skrivas y=y_H + y_P, där y_P är en (vilken som helst) partikulärlösning, dvs en lösning till ickehomogena ekvationen L(D)y=h(x).

   • Tekniken att bestämma en partikulärlösning beror på hur högerledet h(x) ser ut.
   • Om h(x) är ett polynom av grad n ansätts i normalfallet y_P=allmänt polynom av grad n. (Ex. n=2, y_P=ax²+bx+c).
   • Viktigt undantag från ovanstående: Om y saknas i diff.ekvationens vänsterled ansätts istället ett polynom av grad n+1. (Om y' också saknas blir graden n+2 osv.)

   • Om h(x)=Ae^kx ansätts en lösning z(x)e^kx.
   • Förskjutningsregeln ( L(D)z(x)e^kx=e^kxL(D+k)z(x) ) underlättar bestämningen av z(x).
   • Ovanstående går också att tillämpa då h(x) har en trigonometrisk faktor. Man använder Eulers formel som ger e^axcos bx = Re( e^(a+ib)x) osv.
   • Resonans inträffar då k (exponentkoefficienten i h(x) uppfyller L(k)=0. Detta gäller även då k är komplext. Partikulärlösningen tas fram med samma metod i resonansfallet. Man kommer att stöta på undantagsfallet för polynom ovan vid resonans.
   • Om flera termer förekommer i högerledet bestäms en parikulärlösning för en högerledsterm i taget, y_P1, y_P2, ... . Den totala partikulärlösningen blir y_P= y_P1+ y_P2+... .
   • Då tillräckligt många begynnelsevillkor är givna (Ex. y(0), y'(0) är givna för en andra ordningens ekvation) får man en unik lösning genom att bestämma de obestämda konstanter som ingår i allmänna lösningen. Detta sker genom insättning av x=0 i allmänna lösningen y och dess derivator y',... .