- Allmänna integrationsmetoder.
- Om F'=f, kallas F en primitiv funktion till f.
- Bestämda integralen av f över intervallet [a,b] bestäms som F(b)-F(a),
där F är en primitiv funktion till f. Här måste f vara kontinuerlig i intervallet [a,b].
- Därför behövs integrallistan, dvs en lista på de elementära funktionernas primitiva funktioner,
som alltså är en omvänd version av derivatalistan.
- Substitutionsmetoden är en omvänd version av kedjeregeln.
Substitutionen t=t(x) fungerar om kombinationen t'(x)dx förekommer i integranden och resten av integranden
är en funktion av t(x).
- Observera fallet f'/f har den primitiva funktionen ln|f|.
- Partiell integration är en baklängesversion av produktregeln omskriven till:
uv'=(uv)' - u'v. Funktionerna x2 sin x och xlnx är typiska exempel
på integrander där partiell integration kan användas.
- Integration av rationella, trigonometriska och algebraiska funktioner.
- Rationella integrander behöver divideras om täljarens gradtal är större eller lika med nämnarens.
- Om täljaren har lägre grad än nämnaren utförs partialbråksutveckling.
- Nämnaren måste först faktoriseras och typen av faktorer (4 sorter finns) måste kännas igen.
- Partialbråksutvecklingens utseende bestäms av vilka typer av faktorer som finns i nämnaren.
Man använder ansatsmetoden eller ( i fallet enkla reella faktorer) handpåläggning.
- Integreringen av de erhållna termerna i partialbråksutvecklingen skall behärskas i de olika fallen.
Fallet med andragradspolynom i nämnaren fordrar mest arbete. Normalt blir resultatet en ln-term och en arctan-term.
- Trigonometriska integrander övergår ofta till en rationell integrand efter substitutioner av typen t=sin x, cos x eller tan x.
Trigonometriska ettan är användbar här.
- Vissa integrander, ex.vis cosnx och sinnx , där n är ett jämnt tal, fordrar dock omformning med
trigonometriska formler. Formlerna för dubbla vinkeln används ofta.
- En algebraisk funktion innehåller rotuttryck.
En vanlig situation är att man har roten ur ett förstagradsuttryck, sqrt(ax+b).
Substitutionen ax+b=t2 får roten att försvinna.
- Generaliserade integraler
- Det finns två sorters generaliserade integraler:
De med obegränsat integrationsintervall (ex.vis [a,∞[) och de med
begränsat intervall. men där integranden går mot oändligheten i intervallet (ofta i en ändpunkt).
- Metoden att bestämma värdet på en generaliserad integral går via primitiva funktioner på vanligt sätt.
Vid insättningen av den primitiva funktionsvärden får man dock i generaliserade fallet använda gränsvärden.
- Om gränsvärdena då existerar säges den generaliserade integralen vara konvergent, annars divergent.
|