- Areor, båglängder och volymer.
- Arean av en yta av tårtbitstyp, begränsad av två linjer grnom origo och en kurva given på polär form.
- Längden av en kurva (båglängden) mellan två givna punkter.
- Volymen av en rotationskropp.
- Integraluppskattningar.
- Alla elementära funktioner har inte elementära primitiva funktioner (ex. vis ex2 ).
Vissa integraler med elementära integrander kan alltså inte beräknas med de metoder som givits i kursen.
Man säger att de inte är elementärt integrerbara. (Vilket inte hindrar att integralerna existerar och har ett unikt värde).
- Om en funktion är mindre eller större än en annan funktion i ett intervall, gäller samma relation mellan
motsvarande integraler över intervallet.
Därför kan en integral uppskattas uppåt eller nedåt genom att man hittar funktioner (vars integraler kan beräknas)
som är större eller mindre än den givna funktionen i integrationsintervallet.
- Konvergens av oändliga serier.
- Summan av en oändlig serie kan ses som den generaliserade integralen av en trappstegsfunktion.
Med integraluppskattningar kan man därför jämföra serier med generaliserade integraler och avgöra om
de konvergerar eller divergerar.
Genom att jämföra serier med termer av typen 1/na med generaliserade integraler som har integranderna 1/xa
får man resultatet att serierna konvergerar då a > 1 och divergerar annars.
Dessa serier används som jämförelseserier.
- Genom att jämföra andra mer komplicerade, positiva serier med jämförelseserierna , kan man avgöra
om de konvergerar eller inte.
En jämförelsemetod kallas kvottestet.
- Geometriska serier behöver inte jämföras. Här finns en enkel formel för summan av en oändlig geometrisk serie
( a/(1-k) ).
- På vissa positiva serier som inte är geometriska, men påminner om dessa, kan man tillämpa kvotkriteriet eller rotkriteriet.
- En serie kallas absolutkonvergent om den positiva serie, som erhålles då man tar beloppet av alla termer,
är konvergent. Man kan visa att om en serie är absolutkonvergent så är den konvergent.
Detta ger en metod att avgöra konvergensen för vissa teckenväxlande (alltså ickepositiva) serier.
- Summan 1+1/2+1/3+1/4 +... är divergent, men 1-1/2+1/3-1/4 +... är konvergent.
Det finns alltså konvergenta serier som inte är absolutkonvergenta.
- Konvergens av generaliserade integraler
- Icke elementåra generaliserade integraler (eller svårberäknade generaliserade integraler) kan jämföras med enklare integraler
för att avgöra konvergens eller divergens.
Detta gäller båda typerna av generaliserade integraler.
- För generaliserade integraler finns jämförelseintegraler liknande jämförelseserierna.
Dessutom finns jämförelseintegraler då generaliseringen gäller ändpunkten x=0.
I detta fall ger integranderna 1/xa konvergens om a<1, divergens annars.
- Generaliserade integraler med teckenväxlande integrander (med en faktor sin x eller cos x ex.vis)
kan undersökas genom test av absolutkonvergensen.
|