5.4 Kvadratiska former.
Vid övergång mellan polynom och matris för en kvadratiska form noterar man att koefficienterna för variablernas kvadrater hamnar i matrisens diagonal.
Koefficienten för xy däremot divideras med 2 och placeras ut på två ställen, symmetriskt omkring diagonalen.
Detta gäller även koefficienterna för yz och xz i 3-variabelfallet varvid matrisen är en symmetrisk 3x3-matris.
Notera användningen av sambandet (AB)T = BTAT
i härledningen av diagonaliseringen:
(Ox')T = x'TOT.
Kvadratiska former studeras i samband med undersökning av extremvärdens karaktär
i fallet flervariabelfunktioner.
Då är det nämligen Taylorutvecklingens kvadratiska del (som ju är en kvadratisk form)
som normalt fäller utslaget.
Det är därför praktiskt att skaffa kriterier för när en kvadratisk form är positivt definit,
dvs alltid positiv utom, då alla variabler är 0.
Man ser här att detta gäller då formens matris har positiva egenvärden.
En annan tillämpning består i att avgöra vilken typ av andragradskurvor/andragradsytor
som definieras av P(x,y) = 1 resp Q(x,y,z) = 1
där P och Q ä
r kvadratiska former.
Att diagonalisera den kvadratiska formen för ex.vis en ellips innebär att
man väljer det nya koordinatsystemet så att de nya koordinataxlarna blir parallella med ellipsens huvudaxlar.
Egenvektorerna till den kvadratiska formens matris fungerar som det nya systemets basvektorer
och pekar alltså ut ellipsens huvudaxelriktningar.
Tecknen för koefficienterna till kvadrattermerna i den diagonaliserade matrisen, dvs matrisens egenvärden,
karakteriserar andragradskurvan.
I fallet ellips är dessa koefficienter (egenvärden) båda positiva.
LGA 8.1
Besvarade frågor länkas från denna sida, samt förstasidan.