2.FV1              Skalärvärda funktioner

Arbetsblad 2b: Summering

1. Rⁿ->R^m-funktioner och deras gränsvärden. .
   • Geometrisk tolkning av funktionerna för olika n och m.
     Ex: R->R³: Kurva i R³.   R²->R: Yta i R³.
   • Tangentvektorn r'(t) till en kurva r= r(t).
   • Gränsvärden av R²->R-funktioner bestäms enklast med polära koordinater.
     Gränsvärdet i en punkt existerar endast om samtliga gränsvärden längs kurvor genom punkten existerar.
   • Kontinuitet för flervariabelfunktioner i en punkt innebär (som alltid) att funktionsvärdet= gränsvärdet.
   • Spiraltrappsdiskontinuitet: Nytt fenomen som inte förekommer i envariabelfallet.

2. Differentierbarhet och partiella derivator .
   • Grafytan till en differentierbar R²->R-funktion har ett tangentplan i varje punkt på ytan. (Funktionen z=(x² +y²)^1/2, som framställer en kon med spets i origo, är inte differentierbar i origo.)
   • Definitionen av differentierbarhet utgör ett villkor på resttermerna i Taylorutvecklingar där utvecklingarna avbrutits efter 1:agradstermerna..
   • En partiell derivata med avseende på x definieras på samma sätt som en envariabelderivata. De övriga oberoende variablerna (utöver x) betraktas då som konstanter.
   • Differentierbarhet medför deriverbarhet. Omvändningen gäller dock inte.
   • Den partiella derivatan f_x(x,y) ger lutningen för ytan z=f(x,y) i punkten (x,y) i x-axelns riktning.
   • Högre dervator definieras också på samma sätt. Blandade derivator (som F_xy och F_yx ) är parvis lika i en punkt, om de är kontinuerliga i en omgivning av punkten.
     Detta gäller för alla elementära funktioner i punkter där de är definierade.

3. Kedjeregler och riktningsderivata.
   • Varje typ av funktionssammansättning fordrar en speciell kedjeregel.
     Observera särskilt kedjeregeln för sammansättningen f(t)=F(x(t),y(t),z(t)):
     f'(t)=F_xx'(t)+F_yy'(t)+F_zz'(t).
   • Derivatan f'(t) visar sig kunna skrivas som en skalärprodukt:
     (*)    f'(t) = gradF·r', där gradF=(F_x,F_y,F_z) och r(t) =(x(t),y(t),z(t)).
   • Vanlig problemtyp: Visa att u(x,y)= f(x-y) uppfyller den partiella differentialekvationen u_xx-u_yy=0.
     där f är en godtycklig deriverbar funktion. En kedjeregel behövs för den upprepade deriveringen.
   • Riktningsderivatan av F i punkten a i riktningen u:
     F'_u(a)=gradF(a)·e, där e=u/|u|. Riktningsderivatan generaliserar vanliga partiella derivator genom att ge F:s tillväxt i godtycklig riktning.
     Observera att riktningsvektorn e i formeln måste vara normerad!

4. Regulära kurvor och ytor .
   • Vektorn gradF(a) pekar åt det håll funktionen F(x,y,z) växer snabbast i punkten a..
     (Följer av uttrycket för riktningsderivatan).
   • Vektorn gradF(a) är normalriktning till tangentplanet till ytan F(x,y,z)=C, om punkten a ligger på ytan. (Följer av uttrycket (*) för detivatan f'(t) ovan.)