4.FV2               Vektorvärda funktioner

Arbetsblad 4b: Summering


  1. Jacobimatriser.

    • En Jacobimatris till en vektorvärd funktion består av funktionskomponenternas derivator.
    • Varje funktionskomponent svarar mot en rad i Jacobimatrisen. (Om funktionen är skalärvärd svarar alltså Jacobimatrisen mot funktionens gradient).
    • Jacobimatrisen i en viss punkt är en konstant matris som definierar den linjära transformation som bäst ansluter sig till funktionen i punkten.


  2. Kedjeregler och transformationer

    • Kedjeregler för vektorvärda funktioner formuleras enklast med hjälp av Jacobimatriser.
    • Transformering av derivatauttryck vid koordinattransformationer fordrar sådana kedjeregler.
    • När koordinattransformationen är definierad 'åt fel håll' relativt derivatauttrycket kan man lösa problemet genom invertering av en Jacobimatris.
    • Polära koordinater är en vanlig koordinattyp. Det är praktiskt att komma ihåg uttrycken för derivatorna rx och ry ( x/r resp. y/r ).


  3. Taylors formel och differentialer

    • Taylors formel för vektorvärda flervariabelfunktioner innehåller Jacobimatriser i den linjära delen.
    • Härledningen av Taylors formel i detta fall bygger på Taylorutvecklingen av en viss envariabelfunktion (med variabeln t=ah+bk i tvåvariabelfallet).
    • Differentialer kan ses som en linjarisering av en flervariabelfunktion (jämför linjära delen av en Taylorutveckling).
    • Differentialräkning utgör en alternativ metod att transformera derivatauttryck.


  4. Inversfunktioner och implicit definierade funktioner..

    • Inversen av en Rn-Rn-funktion f i en omgivning av en punkt kan visas bero på existensen av inversen till f:s linjarisering i punkten. (Inversa funktionssatsen).
      Denna linjarisering definieras av f:s Jacobimatris i punkten.
    • Inversen av en linjär funktion, definierad av matrisen A, existerar om och endast om inversen A-1 existerar.

    • Ett (ickelinjärt ) ekvationssystem definierar ofta implicit en funktion i en omgivning av en lösningspunkt till systemet. Den lokala existensen av denna funktion som funktion av en viss variabel beror på om motsvarande linjära system implicit definierar en linjär funktion av samma variabel. (Implicita funktionssatsen)
    • Om systemet består av två ekvationer med tre obekanta representerar varje ekvation en rymdyta. Lösningspunkterna ligger då på ytornas skärningslinje.
    • En funktion som definieras implicit av systemet beskriver skärningskurvan som en parameterkurva i närheten av en lösningspunkt.
      Motsvarande linjära system består av de två tangentplanen till ytorna i lösningspunkten.
      Detta system definierar då en skärningslinje som är tangentlinje till ovannämnda skärningskurva,
    • Det linjära problemet löses genom att man undersöker om determinanten för en viss undermatris till systemets Jacobimatris är skild från 0 i den givna punkten. (Se modul 3 LA2).