5. LA3               Koordinatbyten och egenvärdesproblem.

Arbetsblad 5b: Summering

1. Linjära koordinatbyten.

   • Vid ett linjärt koordinatbyte måste man känna till koordinaterna för basvektorerna i det gamla systemet {e₁, e₂,... } och basvektorerna i det nya systemet {f₁, f₂,... }.
   • Dessa koordinater skall anges i samma koordinatsystem. Normalt väljs det gamla systemet som bassystem så att e₁=(1,0,...), e₂=(0,1,...) osv.
   • Transformmatrisen C definierar en relation mellan de nya och gamla basvektorerna:
     (1)    f_j=Ce_j, j=1,2,...,n.
   • Om e₁=(1,0,...),e₂=(0,1,...) osv., är de nya basvektorerna f_j kolumner i C.
   • Relationerna mellan en vektors koordinater i gamla systemet, x_e, och i nya systemet, x_f, blir
     (2)    x_e = Cx_f .
     Observera skillnaden mellan (1) och (2)!
   • Motsvarande relation mellan en matris i gamla systemet , A_e, och i nya systemet, Af, blir
     (3)     A_f = C^-1A_eC.
   
   
   

2. Egenvärden, egenvektorer och diagonalisering.

   • Egenvärden till matrisen A (kvadratisk) är lösningar till den karakteristiska ekvationen det(A-λE) = 0.
   • Egenvektorer u svarande mot egenvärdet λ uppfyller Au = λu.
   • Egenvektorerna är ortsvektorer till de oändligt många lösningarna till det homogena systemet (A-λE)u = 0.
   • Om A är en nxn-matris som har n st linjärt oberoende reella egenvektorer, kan A diagonaliseras, dvs det finns en diagonalmatris D och en nxn-matris P så att
     (4)      D=P^-1AP.
     I den diagonaliserande matrisen P ingår egenvektorerna som kolumner.
   • D:s diagonalelement utgörs av A:s egenvärden.
   • Symmetriska matriser har alltid reella egenvärden och maximalt antal egenvektorer och kan alltså alltid diagonaliseras. Men alla kvadratiska matriser kan inte diagonaliseras.
   • För symmetriska matriser gäller dessutom att egenvektorerna kan väljas inbördes ortogonala. Symmetriska matriser kan alltså diagonaliseras av en ON-matris.
   • Diagonaliseringsformeln (4) ger en praktisk metod att bestämma matrispotenser Aⁿ.
   
   
   

3. Diagonalisering av andragradskurvor och -ytor.

   • En kvadratisk form är ett polynom av enbart andragradstermer. En kvadratisk form kan skrivas på formen Q(x₁,...,x_n) = x^TKx, där x^T=(x₁,...,x_n) och K en symmetrisk nxn-matris.
   • Kvadratiska kurvor och ytor kan skrivas på formen
     (5a)     x^TKx + b^Tx=c eller
     (5b)    x^TKx = c.
     (Kurvor i 2-dim. fallet, ytor i 3-dim. fallet.)
   • Dessa kurvor och ytor diagonaliseras genom ortonormala koordinatbyten x=Oy där alltså O är en ON-matris. Detta är enligt ovan möjligt eftersom de kvadratiska formerna kan definieras av symmetriska matriser och att dessa kan diagonaliseras av en ON-matris.
   • För ON-matriser gäller att O^-1= O^T vilket medför att diagonaliseringsformeln (4) kan skrivas D=O^TAO.
   • I fallet (5b) där förstagradstermer saknas kan den diagonaliserade formen bestämmas enbart genom beräkning av K:s egenvärden som är D:s diagonalelement dvs koefficienterna för kvadrattermerna..
   • I fallet (5a) där förstagradstermerna b^Tx ingår måste dock även den diagonalisernde ON-matrisen O bestämmas (dvs K:s egenvektorer) så att förstagradstermerna kan transformeras.
   • De kvadratiska kurvornas och ytornas typ (ellips, hyperbel, ellipsoid, en- och tvåmantlig hyperboloid osv. ) bestäms av tecknen för egenvärdena till matrisen K.