6. FV3              Extremvärdesproblem.

Arbetsblad 6b: Summering

1. Lokala extremvärden

   • En funktion f har stationära punkter där samtliga förstaderivator är 0. I tvåvariabelfallet svarar detta mot de punkter där tangentplanet till f:s grafyta är vågrätt.
     De lokala extrempunkterna (max eller min) är stationära, men en stationärpunkt kan också vara en sadelpunkt.
   • En stationär punkts karaktär bestäms oftast av andraderivatornas värden i punkten. (Jämför envaribelfallet där y'' bestämmer stationära punktens karaktär utom då y''=0).
   • I flervariabelfallet ger egenvärdena till Hessematrisen information om de stationära punkternas karaktär.
     Hessematrisen till funktionen f i en punkt är den kvadratiska matris (nxn-matris i n-variabelfallet) vars komponenter består av f:s andraderivator i punkten.
   • I tvåvaribelfallet kan man se det så att i stället för f(x,y) undersöks f:s Taylorpolynom P₂(a+h,b+k) omkring den stationära punkten (a,b)
     Detta polynom, som är en kvadratisk form, kan diagonaliseras med de matrismetoder som beskrivs i LA3.Man inser ex.vis att då båda egenvärdena är > 0 har det diagonaliserade polynomet λ₁h² + λ₂k² ett lokalt min i (a,b).
   • I stället för egenvärdesmetoden kan (AC-B²)-metoden användas i tvåvaribelfallet (men endast då). Egenvärdesmetoden fungerar för godtyckligt antal variabler.
   • När ett egenvärde är = 0 (vilket svarar mot att AC-B² = 0 ) måste högre ordningens termer undersökas.
   
   
   

2. Bivillkor (Lagranges metod) och globala max och min.

   • Lagranges metod löser problemen att maximera/minimera en funktion f på ett område definierat av ett bivillkor i form av en ekvation g=0. Metoden går ut på att söka punkter där grad f (som pekar ut den riktning i vilken funktionen växer snabbast) är parallell med grad g (som är vinkelrät mot bivillkors-ytan/kurvan ).
   • I de ekvationssystem som uppstår brukar det vara förmånligast att eliminera parametern λ.
   • Vid lösning av globala max- och minproblem på slutna begränsade områden gäller det att söka de punkter i vilka max/min kan antas.
   • Sådana punkter är :
     • Stationära punkter i det inre av området
     • Icke deriverbara punkter.
     • Randpunkter erhållna via Lagranges metod eller envariabelmetoder.
     • Hörnpunkter.
   • Funktionsvärdena i dessa punkter behöver sedan bara jämföras. Punkternas karaktär behöver inte bestämmas.
   • I fallet slutet begränsat område existerar alltid max och min, om funktionen är kontinuerlig.
   
   
   

3. Matrisnormer och minstakvadratmetoden.

   • Matrisnormen till A är roten ur största egenvärdet till A^TA. Problemets lösning kan härledas m.hj.a. Lagranges metod eftersom det är av typen max/min med bivillkor.
   • Minstakvadratmetoden kan användas på överbestämda linjära ekvationssystem som alltså saknar lösning.
   • Metoden används oftast då en svit punkter skall anpassas till en kurva av viss typ. Kurvans okända parametrar (som måste ingå i kurvformeln på ett linjärt sätt) fungerar då som systemets obekanta. Varje punkt som skall anpassas ger upphov till en ekvation.
   • Problemet löses enklast algebraiskt som en lösning till de s.k. normalekvationerna.
   • Det kvadratiska medelfelet ger ett mått på anpassningens kvalitet.