3.LA2               Linjära ekvationssystem och matrisalgebra

Arbetsblad 3b: Summering

1. Linjära ekvationssystem

   • Gauss-elimination och Gauss-Jordans metod att lösa linjära ekvationssystem. .
   • Två tolkningar av linjära ekvationssystem:
     • Skärning mellan plan. Lösningar: skärningspunkter.
     • Högerledsvektorn=en linjärkombination av kolumnvektorerna i systemmatrisen. Lösningar svarar mot koefficienterna i linjärkombinationen.
   • De tre fallen: unik lösning, ingen lösning och oändligt många lösningar samt motsvarande geometriska tolkningar.
   • Om determinanten för systemmatrisen (om denna är kvadratisk) är ≠ 0, finns en unik lösning.
     Om determinanten = 0, finns antingen oändligt många lösningar eller inga alls.
   • Homogena system (med högerleden=0) har alltid den triviala lösningen x = 0.
   • Liggande system (med fler variabler än ekvationer har normalt oändligt många lösningar.
     Stående system (med fler ekvationer än variabler) saknar normalt lösningar.
     I ingendera fallet kan determinanter användas.
   
   
   
2. Linjärt beroende och matriser.
   • n st. m-dimensionella vektorer a₁, ... ,a_n (n ≤ m) är linjärt beroende, om det finns en svit skalärer s₁, ... ,s_n (inte alla 0) så att
     s₁a₁ + ... + s_na_n = 0.
     Test för linjärt beroende::
     • (n=m) Determinanten för A (matrisen med vektorerna som kolumner) är = 0.
     • (n < m) Det homogena systemet med A som systemmatris har icketriviala lösningar.
   • En linjär transformation L av vektorer uppfyller L(sa + tb)= sL(a) + tL(b).
     Sådana linjära transformationer visar sig kunna definieras av matriser.
   • En linjär transformation avbildar en linje på en linje, en linje genom origo på en linje genom origo och parallella linjer på parallella linjer.
   • Matrisalgebra, speciellt matrisprodukt, samt räkneregler. (bl.a. AB normalt skild från BA).
   • Enhetsmatrisen E, som fungerar som en etta vid multiplikation, och transponerade matrisen A^T där A:s rader och kolumner har bytt plats.
   • Några viktiga relationer:
     (AB)^T= B^TA^T.
     det(AB)=det(A)det(B).

3. Inverser och deras roll vid lösning av linjära system.
   • A^-1 existerar endast om det(A) ≠ 0.
   • Linjära system kan skrivas Ax= b, där A är systemmatrisen och b högerledsvektorn.
     Om A är kvadratisk och det(A) ≠ 0 är lösningen x=A^-1b.
   • Metoden att bestämma A^-1 (Gauss-Jordan dvs. utökad Gausselimination).
   • Formeln för A^-1 i termer av cofaktorer, A:s adjunkt och det(A).
   • Allmänna regeln för utveckling av en determinant efter en rad eller kolumn.
   • Cramers regel för linjära system. (Spec. för små system med parameterkoefficienter).