2. FV1             Skalärvärda funktioner

Start

FV1-PR


1. Rn->Rm-funktioner och deras gränsvärden.
  • Geometrisk tolkning av funktionerna för olika n och m.
    Ex: R->R3: Kurva i R3.   R2->R: Yta i R3.
  • Tangentvektorn r'(t) till en kurva r= r(t).
  • Gränsvärden av R2->R-funktioner bestäms enklast med polära koordinater.
    Gränsvärdet i en punkt existerar endast om samtliga gränsvärden längs kurvor genom punkten existerar.
  • Kontinuitet för flervariabelfunktioner i en punkt innebär (som alltid) att funktionsvärdet= gränsvärdet.
  • Spiraltrappsdiskontinuitet: Nytt fenomen som inte förekommer i envariabelfallet.

2. Differentierbarhet och partiella derivator .

  • Grafytan till en differentierbar R2->R-funktion har ett tangentplan i varje punkt på ytan. (Funktionen z=(x2 +y2)1/2, som framställer en kon med spets i origo, är inte differentierbar i origo.)
  • Definitionen av differentierbarhet utgör ett villkor på resttermerna i Taylorutvecklingar där utvecklingarna avbrutits efter 1:agradstermerna..
  • En partiell derivata med avseende på x definieras på samma sätt som en envariabelderivata. De övriga oberoende variablerna (utöver x) betraktas då som konstanter.
  • Differentierbarhet medför deriverbarhet. Omvändningen gäller dock inte.
  • Den partiella derivatan fx(x,y) ger lutningen för ytan z=f(x,y) i punkten (x,y) i x-axelns riktning.
  • Högre dervator definieras också på samma sätt. Blandade derivator (som Fxy och Fyx ) är parvis lika i en punkt, om de är kontinuerliga i en omgivning av punkten.
    Detta gäller för alla elementära funktioner i punkter där de är definierade.

3. Kedjeregler och riktningsderivata.

  • Varje typ av funktionssammansättning fordrar en speciell kedjeregel.
    Observera särskilt kedjeregeln för sammansättningen f(t)=F(x(t),y(t),z(t)):
    f'(t)=Fxx'(t)+Fyy'(t)+Fzz'(t).
  • Derivatan f'(t) visar sig kunna skrivas som en skalärprodukt:
    (*)    f'(t) = gradF·r', där gradF=(Fx,Fy,Fz) och r(t) =(x(t),y(t),z(t)).
  • Vanlig problemtyp: Visa att u(x,y)= f(x-y) uppfyller den partiella differentialekvationen uxx-uyy=0.
    där f är en godtycklig deriverbar funktion. En kedjeregel behövs för den upprepade deriveringen.
  • Riktningsderivatan av F i punkten a i riktningen u:
    F'u(a)=gradF(a)·e, där e=u/|u|. Riktningsderivatan generaliserar vanliga partiella derivator genom att ge F:s tillväxt i godtycklig riktning.
    Observera att riktningsvektorn e i formeln måste vara normerad!

4. Regulära kurvor och ytor.

  • Vektorn gradF(a) pekar åt det håll funktionen F(x,y,z) växer snabbast i punkten a..
    (Följer av uttrycket för riktningsderivatan).
  • Vektorn gradF(a) är normalriktning till tangentplanet till ytan F(x,y,z)=C, om punkten a ligger på ytan. (Följer av uttrycket (*) för detivatan f'(t) ovan.)