\documentclass[fleqn,swedish]{article}

\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}

\pagestyle{myheadings}
\markright{}

\setcounter{secnumdepth}{-2}
%\setlength{\unitlength}{1mm}

\begin{document}
\vskip 5cm
\section{}
\subsection{}
\noindent Matematiska Institutionen

\noindent KTH

\vskip 0.5cm
\noindent
\centerline{{\bf Diskret matematik CL. Svar på fråga från Ellinor. }}\\

Frågan var huruvida man kan tänka sig att ekvationen $x^2=1$ kan ha godtyckligt 
många lösningar.

Med hjälp av kinesiska restsatsen, se stencil, kan man visa att varje ring $Z_n$ 
i princip kan uttryckas som en direkt produkt av andra ringar:
$$Z_n=Z_{p_1^{e_1}}\times Z_{p_2^{e_2}}\times\ldots\times Z_{p_k^{e_k}}$$
där $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_k$ är olika primtal varvid
$1=(1,1,\ldots,1)$ och multiplikationen sker termvis:
$$(a_1,a_2,\ldots,a_k)(b_1,b_2,\ldots,b_k)=(a_1b_1,a_2b_2,\ldots,a_kb_k)$$
och räkningarna i varje koordinatposition utföres i respektive ring.

Som exempel har vi att $Z_{12}=Z_3\times Z_4$ och att $(\pm 1,\pm 1)^2=(1,1)=1$.
Vi får alltså fyra lösningar till ekvationen $x^2=1$ nämligen de element i 
$Z_{12}$ som svarar mot elementen $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$ och $(-1,-1)$.

I den allmänt beskrivna ringen ovan är alltså antalet lösningar till $x^2=1$ 
minst lika med $2^k$.

Nästa fråga blir alltså om antalet lösningar alltid är en 2-potens. Mitt förslag 
är att om man är intresserad undersöker antalet lösningar till $x^2=1$ i 
ringarna $Z_4$, $Z_8$, $Z_9$, $Z_{16}$ och $Z_{25}$ för att se vad som händer. 
Jag vet inte.\\

Hälsn\\

Olle

\end{document}
