LEKTION 04-26

Idag definierar vi några algebraiska strukturen: Grupper, Ringer och kropp. De alla består av en mängd med en binära operation som motsvarar några egen-

skaper.

Definition 0.1. Låt A vara en mängd. En binär operation ∗ på A ër en funktion:

∗ : A × A → A

Exempel:

• +, · : ℤ × ℤ → ℤ.

• Låt M_{k}(ℝ) vara mängden av n × n matriser med reella koefficienter. Matris multiplikationen definierar en binära operation.

· : M_{k}(ℝ) × M_{k}(ℝ) → M_{k}(ℝ)

• Additionen och multiplikationen modulo n definierar binära operationer på

ℤ_{n}.

+, . : ℤ_{n} × ℤ_{n} → ℤ_{n}

• Divisionen INTE definierar en binär operation på ℤ.

• Låt S(A) = {f : A → A så att f är surjektiv}. Sammansättning

∘ : S(A) × S(A) → S(A)

definierar en binär operation. Vi ska visa att ∘ definiera en binär operation på S(A), dvs att sammansättning av två surjektiva funktioner är surjektiva. Låt f, g vara två surjektiva funktioner och betrakta a ∈ A. Vi ska visa att det finns b ∈ A så att f(g(b)) = a. Eftersom f, g är surjektiva finns det c ∈ A så att a = f(c) och b ∈ A så att c = g(b).

Det följer att ∘ definierar en binär operation på S(A).

Definition 0.2. En grupp definieras som ett par (G, ∗) där G är en mängd och ∗ är en binär operation med följande tre egenskaper: (G1) Operationen är associativ:

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) for varje a, b, c ∈ G

(G2) Det finns ett noll element:

det finns ett element 0 ∈ G så att 0 ∗ g = g ∗ 0 = g for varje g ∈ G

(G3) varje element har en invers:

for varje element g ∈ G det finns ett element g′ ∈ G så att g ∗ g′ = g′ ∗ g = 0

Exempel:

• (ℤ, +) är en grupp. (ℤ, ·) INTE är en grupp. Låt ℚ^{∗} = ℚ \ {0}, då är (ℚ^{∗}, ·) en grupp. Är (ℤ^{+}, +) en grupp?

• (M_{k}(ℝ), ·) är en grupp. Noll elementet är den identitet matrisen, I_{n}, och inversen av en matris, M, är den inversmatris M^{−1}.

• (ℤ_{n}, +) är en grupp. Noll element är klassen [0] och invers av element [x] är

klassen [n − x].

Betrakta nu ℤ_{n} med multiplikationen. Är den en grupp? Man kan hytta en nollelement, nämlingen [1]. Men man kan hytta en invers bara till inverterbara element, d.v.s [a] ∈ ℤ_{n} där gcd(a, n) = 1.

Man ser att alla element blir inverterbara när n är ett primtal. Dessutom vi ska ta borta element [0], den har ingen invers. Låt ℤ_{p}^{∗} = ℤ_{p} \ {0}, då är (ℤ_{p}^{∗}, ·) en grupp för varje primtal p.

• Betrakta mängden S(A) med den sammansättning operationen. (G1) gäller. Identitet funktionen id_{A} är en noll-element, då gäller (G2). Finns det en inversfunktion till alla funktioner?

Vi har tidigare visat att bara injektiva funktioner har en invers. Det betyder att (S(A), ∘) är inte en grupp.

Kan vi definiera en grupp genom att betrakta en delmängd av F (A)? Låt B(A) = {f : A → A så att f är bijektiv}. Är ∘ en binär operation

på I(A)? Vi ska visa att sammansättningen at två injektiva funktioner är fortforande injektiv. Anta att f, g är injektiva och att f ∘ g(a) = f ∘ g(b). Det betyder att f(g(a)) = f(g(b)) och då, eftersom f är injektiv, g(a) = g(b). Men g är också injektiv så att a = g.

Det följer att (B(A), ∘) är en grupp.

Definition 0.3. En grupp (G, ∗) kallas en abelska grupp om operationen är kommutativ, dvs

(G4) a ∗ b = b ∗ a för alla a, b ∈ G

Exempel.

• (ℤ, +), (ℚ^{∗}, ·) är abelska grupper.

• (M_{k}(ℝ), ·) INTE är en abelsk grupp.

• (ℤ_{n}, +) är en abelsk grupp. Vi ska nu definiera vad betyder att en grupp H kan tänkas som en delgrupp av en grupp G.

Definition 0.4. Låt (G, ∗) vara en grupp. En delgrupp av G består av ett par (H, ∗) där:

• H ⊆ G är en delmängd.

• Operationen ∗ är “sluten” på H :

∗ : H × H → H, dvs att h_{1} ∗ h_{2} ∈ H för varje h_{1}, h_{2} ∈ H

och (H, ∗) är en grupp Exempel

• (ℚ_{+}, ·) är en delgrupp till (ℚ^{∗}, ·).

• Låt (G, ∗) vara en grupp och g ∈ G. Man kan definiera en delgrupp från g, den kallas den delgruppen som genereras av g:

< g >= {g^{n}|n ∈ ℤ}

Här g^{n} = g ∗ g ∗ ... ∗ g n gånger.

Säkert är < g > en dälmängd av G, varje potens av g finns i G enligt binär operationen. Man ska visa att operationen ∗ är sluten på < g >. Låt g^{n}, g^{m} vara två element i < g >, vi har att

g^{n} ∗ g^{m} = g^{n+m} ∈< g >

Definition 0.5. En grupp (G, ∗) är ändlig om G är en ändlig mängd.

Grupperna (ℤ_{n}, +) och (ℤ_{p}^{∗}, ·) är bland de viktigaste ändliga grupper.

Definition 0.6. En grupp (G, ∗) kallas en cyklisk grupp om den genereras av ett element: G =< g >.

Exempel.

• (ℤ, +) =< 1 >=< −1 >

• Om G = (< g >, ∗) är en ändlig cyklisk grupp då måste det finnas ett tal n sådan att g^{n} = 1, där 1 är nollelement i gruppen.

G = {1, g, g^{2}, g^{3}, ..., g^{n−1}}

Det betyder att |G| = n. Heltalet n kallas ordningen av element g, ord(g). Betrakta gruppen (ℤ_{n}, +). Den är en cyklisk ändlig grupp:

(ℤ_{n}, +) = (< [1] >, +) och ord([1]) = n

• Betrakta gruppen (ℤ_{6}, +). Hur många delgrupper finns?

Eftersom denna ër en cyklisk grupp vi ska bästemma alla möjliga cykliska delgrupper.

– H_{0} =< [0] >= {[0]}, ord([0]) = 1;

– < [1] >= ℤ_{6}, ord([1]) = 6;;

– H_{2} =< [2] >= {[2], [4], [0]}, ord([2]) = 3;

– H_{3} =< [3] >= {[3], [0]}, ord([3]) = 2;

– < [4] >= H_{2}, ord([4]) = 3;

– < [5] >= ℤ_{6}, ord([5]) = 6;

Om vi fixar en delgrupp, t.ex. (H, ∗) ⊂ (G, ∗) kan vi definiera dess sydokalsser for varje g ∈ G:

g ∗ H = {g ∗ h|h ∈ H}

Sydoklasser av H_{2} i ℤ_{6} är • 0 + H_{2} = 2 + H_{2} = 4 + H_{2} = {[4], [0], [2]} = H_{2};

• 1 + H_{2} = {[3], [5], [1]} = 3 + H_{2} = 5 + H_{2}

Vi ser att ℤ_{6} = (0 + H) ∪ (1 + H).

Det kan man visa för all grupper:

G = H ∪ g_{1} ∗ H ∪ ... ∪ g_{k} ∗ H för några g_{1}, ..., g_{k} ∈ G

där unionen består av disjunkta mängder (dvs att denna är en partition av mängden G). Dessutom är alla dessa sydoklasser like stora,

|H| = |g_{i} ∗ H| för alla i = 1, ..., k

Det följer att: LAGRANGES SATS Om H är en delgrupp av gruppen G då måste kardinaliteten av H, |H|, dela kardinaliteten av G, |G|.

Exempel Enligt Lagranges Sats har (ℤ_{p}, +) bara två delgrupper:

< [1] >= {[1]} och ℤ_{p} =< [n] > , för n = 2, ..., p − 1