%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%  AMS-LaTeX  MALL foer skrivningar
%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%% PREAMBLE

%% STYLESECTION

\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb,isolatin1}
\usepackage[swedish]{babel}
\pagestyle{empty} %%tar bort sidhuvuden/sidnummer m.m%%
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\textwidth=15cm
%\pagenumbering{}

\usepackage{graphicx}

%% DECLARATIONSECTION
%% plainstyle

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{uppgift}{}
%% uppgift avends i mackrot 
%% \problem foer numrering

\newlength{\exlength}
\setlength{\exlength}{\textwidth}
\addtolength{\exlength}{-0.1\exlength}
%% anvaends i 
%% \problem 

%% COMMANDSECTION
  
%% \problem aer ett mackro som skapar en uppgift. 
%% Anvends med ett argument som innehhaaller texten
%% iuppgiften
%% Numrering sker automatiskt med raeknaren "uppgift".
%% Sjaelve uppgiften foeregaas av en tab av storlek
%% specificerad i
%% argumentet till \hspace. Uppgiftens spaltbredd ges 
%% av \exlength. Observera att 
%% sidans bredd aer definierad i style-filen och 
%% ges av \textwidth.
%% Alltssaa boer inte summan av argumentet i \hspace 
%% och vaerdet av \exlength
%% overskrida  \textwidth!

\newcommand{\problem}[1]{
%\bigskip
\begin{uppgift} 
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}[t]{\exlength}
#1
\end{minipage}
\end{uppgift}
%\bigskip
}

%% Ger smaa romerska i yttersta lista.
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi )}

\numberwithin{equation}{section}

\parindent0cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer boerjar sjaelva dokumentet
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
Institutionen för Matematik   \newline
KTH  \newline
Lars Filipsson \newline

\bigskip
\bigskip

\bigskip
\bigskip
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man rubrik m.m:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{ \bf  Uppgifter till räkneövningen den 14 november }
\smallskip
\centerline{ 5B1132 Amelia 1 för P ht 2003}
\bigskip
\bigskip

Uppgifterna 1-5 kan räknas av läraren på tavlan. Övriga uppgifter ska studenterna lösa själva, individuellt eller i grupp, under handledning av läraren.

\bigskip
\bigskip
 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Haer skriver man instruktioner m.m.:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{\bf Uppgifter för läraren (max 45 minuter)}

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man uppgifter med hjaelp av \problem
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%
%  1
%%%%%%%


\problem{Bestäm MacLaurinutvecklingen av ordning 3 till funktionen $f(x)=xe^{-x}$ på två olika sätt: dels genom att derivera funktionen och använda receptet i Taylors formel, dels genom att mickla med den kända MacLaurinutvecklingen av $e^x$. Ange resttermen dels på Lagranges form, dels på ordo-form.}

\bigskip


%%%%%%%
%  2
%%%%%%%

\problem{Bestäm ett närmevärde med 4 korrekta decimaler till $\displaystyle \cos{\frac{1}{10}}$.}

\bigskip

%%%%%%%
%  3
%%%%%%%

\problem{Du får veta följande om en funktion: $f(2)=2$, $f'(2)=1$, $f''(2)=-2$ och $f'''(x)$ är kontinuerlig i intervallet $1\le x\le 3$ och är till beloppet mindre än $4711$ för alla $x$ i intervallet. Approximera efter bästa förmåga $f$ på det aktuella intervallet. Kan du säga något om felet i approximationen? Räkna ut gränsvärdet

$$\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-x}{x^4-16}.$$
}


\bigskip

%%%%%%%
%  4
%%%%%%%

\problem{Beräkna gränsvärdet $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln{(1+x+x^2)} -\sin{(x+x^2)}+\frac{x^2}{2}}{\arctan{(x+x^4)}-x}$.
}
\bigskip

%%%%%%%
%  5
%%%%%%%

\problem{Förklara vad en asymptot är och bestäm sedan samtliga asymptoter till funktionen $\displaystyle f(x)=\frac{x^3+1}{x^2+7x}$.
}
\bigskip

\centerline{\bf Uppgifter för studenterna}

\bigskip
%%%%%%%
%  6
%%%%%%%

\problem{Bestäm MacLaurinutvecklingen av ordning 3 till funktionen $f(x)=x\ln{(2x+1)}$. Ange resttermen på valfri form.}


\bigskip


\problem{Du hålls fången av den ökände Djingis Karl i Bengtsfors, som planerar att avrätta dig innan gryningen. Din advokat, som för övrigt är identisk med din gamla mattelärare, har utverkat en sista chans för dig: du blir benådad om du med papper och penna kan räkna ut ett närmevärde till $\displaystyle \sqrt{4,1}$ med tre korrekta decimaler. Gör det.
}
\bigskip

\problem{Säg att du vet att funktionen $f$ kan deriveras tre gånger på intervallet $-2<x<0$ och tredjederivatan är kontinuerlig där. Säg att du dessutom vet att $f(-1)=1$, $f'(-1)=2$ och $f''(-1)=-1$. Beräkna gränsvärdet

$$\lim_{x\to -1} \frac{2x+3-f(x)}{(x+1)^2}.$$
}
\bigskip

\problem{Beräkna gränsvärdet $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x-\sin{x}}{x^3}$.}

\bigskip
  
\problem{Beräkna gränsvärdet $\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}$.}

\bigskip

\problem{MC-gängledaren Ugly Bob har ett brinnande intresse för astronomi, men ingen miniräknare. Han tänker nu implementera sinusfunktionen i den enkla dator han byggt själv efter en byggsats som han skickat efter via Hobbex katalog. Datorn kan egentligen bara utföra de fyra räknesätten. Han vill att datorn ska kunna räkna ut $\sin{x} $ för alla $x$ i intervallet $[-\pi /2,\pi /2]$ med fem korrekta decimaler. Hjälp honom!}

\bigskip

\problem{Beräkna gränsvärdet $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos{x^3})\arctan{x^2}}{x^8}$. Den som tror att L'H\^ospitals regel (se AM 186-191) är så mycket enklare än MacLaurinutveckling kan gärna lösa uppgiften med hjälp av den.}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
