%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%  AMS-LaTeX  MALL foer skrivningar
%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%% PREAMBLE

%% STYLESECTION

\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb,isolatin1}
\usepackage[swedish]{babel}
\pagestyle{empty} %%tar bort sidhuvuden/sidnummer m.m%%
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\textwidth=15cm
%\pagenumbering{}

\usepackage{graphicx}

%% DECLARATIONSECTION
%% plainstyle

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{uppgift}{}
%% uppgift avends i mackrot 
%% \problem foer numrering

\newlength{\exlength}
\setlength{\exlength}{\textwidth}
\addtolength{\exlength}{-0.1\exlength}
%% anvaends i 
%% \problem 

%% COMMANDSECTION
  
%% \problem aer ett mackro som skapar en uppgift. 
%% Anvends med ett argument som innehhaaller texten
%% iuppgiften
%% Numrering sker automatiskt med raeknaren "uppgift".
%% Sjaelve uppgiften foeregaas av en tab av storlek
%% specificerad i
%% argumentet till \hspace. Uppgiftens spaltbredd ges 
%% av \exlength. Observera att 
%% sidans bredd aer definierad i style-filen och 
%% ges av \textwidth.
%% Alltssaa boer inte summan av argumentet i \hspace 
%% och vaerdet av \exlength
%% overskrida  \textwidth!

\newcommand{\problem}[1]{
%\bigskip
\begin{uppgift} 
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}[t]{\exlength}
#1
\end{minipage}
\end{uppgift}
%\bigskip
}

%% Ger smaa romerska i yttersta lista.
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi )}

\numberwithin{equation}{section}

\parindent0cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer boerjar sjaelva dokumentet
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
Institutionen för Matematik   \newline
KTH  \newline
Lars Filipsson \newline

\bigskip
\bigskip

\bigskip
\bigskip
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man rubrik m.m:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{ \bf  Uppgifter till räkneövningen den 7 november }
\smallskip
\centerline{ 5B1132 Amelia 1 för P ht 2003}
\bigskip
\bigskip

Jämna tal kan räknas av lärare på tavlan, men udda tal måste man lösa själv (eventuellt i samarbete med andra studenter och under handledning av läraren). Något facit kommer inte att läggas ut på nätet, men det är fritt fram att fråga gruppläraren om man har räknat rätt!

\bigskip
\bigskip
 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Haer skriver man instruktioner m.m.:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man uppgifter med hjaelp av \problem
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%
%  1
%%%%%%%


\problem{Skissa grafen till funktionen $\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$.}


\bigskip


%%%%%%%
%  2
%%%%%%%

\problem{Skissa grafen till funktionen $\displaystyle f(x)=x^{1/x}$, $x>0$.}

\bigskip

%%%%%%%
%  3
%%%%%%%

\problem{Visa att $\displaystyle f(x)=\arctan{x} + \frac{1}{1+x^2}$ är växande på intervallet $(-\infty , \infty )$.}


\bigskip

%%%%%%%
%  4
%%%%%%%

\problem{Visa att $\displaystyle f(x)=\ln{\frac{1}{x^2+2-2x}}-x$ är avtagande på intervallet $(-\infty , \infty )$.}

\bigskip

%%%%%%%
%  5
%%%%%%%

\problem{Bestäm, om möjligt, största och minsta värdet av funktionen $f(x)=x^2e^{-x}$ på intervallet $[-1,3]$.}

\bigskip

%%%%%%%
%  6
%%%%%%%

\problem{Bestäm, om möjligt, största och minsta värdet av funktionen \newline $f(x)=x^2-|2x-1|$ på intervallet $-2\le x\le 2$.}


\bigskip


\problem{Avgör om det finns någon reellvärd funktion $f$ av en reell variabel som uppfyller villkoren: $f(0)=1$, $f''(x)< 0 $ för alla $x<0$, $f$ är växande på intervallet $x<0$.
}
\bigskip

\problem{Avgör om det finns någon reellvärd funktion $f$ av en reell variabel som uppfyller villkoren: $f(0)=-1$, $f'(1)=0$, $f''(1/2)=3$ och $f$ strängt avtagande på intervallet $x>0$.}

\bigskip

\problem{Kan funktionen $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+3}+\frac12$ anta negativa värden?}

\bigskip
  
\problem{Finns det något tal $x> 0$ sådant att $\displaystyle \ln{\frac{x^2+4}{2x^2}} + 2\arctan{\frac{x}{2}} = 3/2$?}

\bigskip

\problem{Antar funktionen $f(x)=\arctan{3x} - \arctan{x}$ ett största värde? Ett minsta? Bestäm i så fall dessa.}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
