%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%  AMS-LaTeX  MALL foer skrivningar
%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%% PREAMBLE

%% STYLESECTION

\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb,isolatin1}
\usepackage[swedish]{babel}
\pagestyle{empty} %%tar bort sidhuvuden/sidnummer m.m%%
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\textwidth=15cm
%\pagenumbering{}

\usepackage{graphicx}

%% DECLARATIONSECTION
%% plainstyle

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{uppgift}{}
%% uppgift avends i mackrot 
%% \problem foer numrering

\newlength{\exlength}
\setlength{\exlength}{\textwidth}
\addtolength{\exlength}{-0.1\exlength}
%% anvaends i 
%% \problem 

%% COMMANDSECTION
  
%% \problem aer ett mackro som skapar en uppgift. 
%% Anvends med ett argument som innehhaaller texten
%% iuppgiften
%% Numrering sker automatiskt med raeknaren "uppgift".
%% Sjaelve uppgiften foeregaas av en tab av storlek
%% specificerad i
%% argumentet till \hspace. Uppgiftens spaltbredd ges 
%% av \exlength. Observera att 
%% sidans bredd aer definierad i style-filen och 
%% ges av \textwidth.
%% Alltssaa boer inte summan av argumentet i \hspace 
%% och vaerdet av \exlength
%% overskrida  \textwidth!

\newcommand{\problem}[1]{
%\bigskip
\begin{uppgift} 
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}[t]{\exlength}
#1
\end{minipage}
\end{uppgift}
%\bigskip
}

%% Ger smaa romerska i yttersta lista.
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi )}

\numberwithin{equation}{section}

\parindent0cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer boerjar sjaelva dokumentet
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
Institutionen för Matematik   \newline
KTH  \newline
Lars Filipsson \newline

\bigskip
\bigskip
\bigskip




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man rubrik m.m:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{ \bf  Ledningar till Veckans uppgifter på Moment 4 nummer 9-23}
\smallskip
\centerline{ 5B1132 Amelia 1 för P ht 2003}



\bigskip
 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Haer skriver man instruktioner m.m.:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man uppgifter med hjaelp av \problem
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%
%  1
%%%%%%%


Uppgift 9. Räkna ut funktionens värde i den aktuella punkten. Derivera sedan funktionen och räkna ut derivatans värde i den aktuella punkten. Konstatera sedan att andraderivatan existerar och är kontinuerlig i en omgivning till punkten, så resttermen blir av storleksordning Ordo$(x^2)$. Gör sedan Taylorpolynomet enligt receptet högst upp på sid 165 och räkna ut gränsvärdet.


\bigskip


%%%%%%%
%  2
%%%%%%%

Uppgift 10. Här har man ett val. Man kan alltid derivera de funktioner som står där och använda receptet högst upp på sid 165. Men ibland går det lite snabbare om man använder redan kända utvecklingar, i a tex kan man byta ut $x$ mot $3x$ i den redan kända utvecklingen av $\sin{x}$. I d kan man gångra ihop utvecklingarna som man hittade i a och b.

\bigskip

%%%%%%%
%  3
%%%%%%%

Uppgift 11. Samma kommentar som till föregående uppgift.

\bigskip

%%%%%%%
%  4
%%%%%%%

Uppgift 12. Genomgående i deluppgift a-c: byt ut funktionerna mot taylorpolynom och räkna med dessa istället. Man får inte glömma resttermerna. Exempel:

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to 0} \frac{\arctan{2x}+\sin{3x}}{\ln{(1-4x)}+5x} &=\lim_{x\to 0} \frac{2x + \mathcal O (x^3) +3x + \mathcal O (x^3)}{-4x + \mathcal O (x^2)+5x} \\ &=\lim_{x\to 0} \frac{5x + \mathcal O (x^3)}{x + \mathcal O (x^2)} =\lim_{x\to 0} \frac{5 + \mathcal O (x^2)}{1 + \mathcal O (x)} =5.
\end{aligned}
$$

\smallskip

Deluppgift d. Använd att $\ln a -\ln b=\ln (a/b)$, räkna ut gränsvärdet av $a/b$ och ta logaritmen av det.

\smallskip

Deluppgift e. Här kan man tex använda standardgränsvärdet $(1+1/x)^x$ går mot $e$ när $x$ går mot oändligheten. Fast man måste mickla lite och byta ut $x$ mot något slags blä och göra nån omskrivning och till sist ta logaritmen av alltsammans.

\smallskip

Deluppgift f. Använd att det som står där kan skrivas som e upphöjt till logaritmen av det som står där. Sedan är det standardgränsvärde för hela slanten (efter lite omskrivning i alla fall).

\smallskip

Deluppgift g. Maclaurinutveckla sinus och använd sedan ett standardgränsvärde. Obs att det finns en lista över standardgränsvärden på sid 99-100 i AM 1.

\smallskip

Deluppgift h. Byt ut cotangens mot sinus och cosinus och maclaurinutveckla.


\bigskip

%%%%%%%
%  5
%%%%%%%

Uppgift 13. Denna uppgift är inte aktuell ännu. Men på sidorna 191-192 i AM1 står hur man ska göra om man ändå vill försöka.

\bigskip

%%%%%%%
%  6
%%%%%%%
Uppgifterna 14-23 ingår också, men integralerna spar vi till nästa vecka. För diffekvationerna gäller: se först till att de står på formen $y'' +ay' +by=g(x)$ (eller motsvarande för första och tredje ordningens ekvation). Lösningen får man då som $y_h + y_p$, där $y_h$ är den allmänna lösningen till den differentialekvation man får då man byter ut $g(x)$ mot $0$ och $y_p$ är någon enda (utan godtyckliga konstanter) lösning till den givna ekvationen. 

\smallskip

Den homogena ekvationens lösning $y_h$ hittas genom att man löser karaktäristiska ekvationen $r^2 +ar+b=0$. Här finns tre fall:

\smallskip

OM lösningarna till karaktäristiska ekvationen är två olika reella tal $r_1$ och $r_2$ så är $y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}$, där $A$ och $B$ är godtyckliga reella konstanter.

\smallskip

OM lösningarna till karaktäristiska ekvationen är ett enda reellt tal $r$ så är $y_h=(Ax+B)e^{rx}$, där $A$ och $B$ är godtyckliga reella konstanter.

\smallskip

OM lösningarna till karaktäristiska ekvationen är två komplexa tal $\alpha \pm i\beta$ så är $y_h= e^{\alpha x}(A\cos{\beta x}+B\sin{\beta x})$, där $A$ och $B$ är godtyckliga reella konstanter.

\smallskip

Sedan måste man hitta en partikulärlösning $y_p$ (här behövs inga godtyckliga konstanter i lösningen, det räcker att hitta en enda lösning som funkar) och det gör man genom att systematiskt gissa att $y_p$ är en funktion av samma typ som $g(x)$. När man gissat så deriverar man och sätter in gissningen och dess derivata och andraderivata i diffekvationen och ser vad som måste göras för att gissningen ska vara en lösning.

\smallskip

Exempel: 18 b. $y'' +6y' +9y=27x$. Lösningen har formen $y=y_h+y_p$, där $y_h$ är allmänna lösningen till den homogena ekvationen och $y_p$ är någon partikulärlösning. Först söks $y_h$, dvs allmänna lösningen till $y''+6y'+9y=0$. Karaktäristiska  ekvationen $r^2+6r+9=0$ har lösning $r=-3$ så $y_h=(Ax+B)e^{-3x}$. Sedan söks $y_p$. Ansätt (dvs gissa) $y_p=cx+d$ för några tal $c$ och $d$. Då är $y_p'=c$ och $y_p''=0$. Och $y_p''+6y_p'+9y_p=27x $ när $6c+9(cx+d)=27x$ vilket är uppfyllt när $c=3$ och $d=-2$. Alltså kan vi ta $y_p=3x-2$. Sammanfattningsvis får vi att lösningen $y$ till den i uppgiften givna differentialekvationen är $y=(Ax+B)e^{-3x} +3x-2$, där $A$ och $B$ är godtyckliga reella konstanter.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
