%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%
%%%%%%  AMS-LaTeX  MALL foer skrivningar
%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%% PREAMBLE

%% STYLESECTION

\documentclass[12pt]{amsart}
\usepackage{amssymb,isolatin1}
\usepackage[swedish]{babel}
\pagestyle{empty} %%tar bort sidhuvuden/sidnummer m.m%%
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\textwidth=15cm
%\pagenumbering{}

\usepackage{graphicx}

%% DECLARATIONSECTION
%% plainstyle

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{uppgift}{}
%% uppgift avends i mackrot 
%% \problem foer numrering

\newlength{\exlength}
\setlength{\exlength}{\textwidth}
\addtolength{\exlength}{-0.1\exlength}
%% anvaends i 
%% \problem 

%% COMMANDSECTION
  
%% \problem aer ett mackro som skapar en uppgift. 
%% Anvends med ett argument som innehhaaller texten
%% iuppgiften
%% Numrering sker automatiskt med raeknaren "uppgift".
%% Sjaelve uppgiften foeregaas av en tab av storlek
%% specificerad i
%% argumentet till \hspace. Uppgiftens spaltbredd ges 
%% av \exlength. Observera att 
%% sidans bredd aer definierad i style-filen och 
%% ges av \textwidth.
%% Alltssaa boer inte summan av argumentet i \hspace 
%% och vaerdet av \exlength
%% overskrida  \textwidth!

\newcommand{\problem}[1]{
%\bigskip
\begin{uppgift} 
\hspace{0.02\textwidth}
\begin{minipage}[t]{\exlength}
#1
\end{minipage}
\end{uppgift}
%\bigskip
}

%% Ger smaa romerska i yttersta lista.
\renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi )}

\numberwithin{equation}{section}

\parindent0cm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer boerjar sjaelva dokumentet
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
Institutionen för Matematik   \newline
KTH  \newline
Lars Filipsson \newline

\bigskip
\bigskip
\bigskip




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man rubrik m.m:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\centerline{ \bf  Ledningar till Veckans uppgifter på Moment 5 }
\smallskip
\centerline{ 5B1132 Amelia 1 för P och T ht 2004}



\bigskip
 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% Haer skriver man instruktioner m.m.:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%  Haer skriver man uppgifter med hjaelp av \problem
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%
%  1
%%%%%%%


Uppgift 1-2. En funktion som är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall är automatiskt integrerbar, även om det ibland kan vara svårt (eller till och med omöjligt) att hitta en primitiv funktion. Då får man approximera med t ex en Riemannsumma.


\bigskip


%%%%%%%
%  2
%%%%%%%

Uppgift 3. a och b är elementära, det behövs inga integrationsknep, i a handlar det om att gångra och dela med samma tal samt lägga till och dra ifrån lika mycket så att det sedan går lätt att hitta en primitiv funktion. Kom ihåg att 

$$\frac{\text{blä}}{\sqrt{\text{blä}}} =\sqrt{\text{blä}}.$$

\smallskip

Uppgift 3. c. Variabelsubstitution - $x$:et i täljaren ser väl ut som inre derivata, eller hur? Samma med 3d - fast här kan man om man vill se att täljaren är precis derivatan av nämnaren och då är ln(nämnaren) en primitiv funktion.

\smallskip

Uppgift 3e. Substituera!

\smallskip

Uppgift 3f. Integranden skrivs som två bråk - ett med 2x i täljaren och ett med 1 i täljaren - som man hittar primitiva funktioner till var för sig.

\smallskip


Uppgift 3g. Absolutbelopp hanteras som vanligt att man delar upp i olika fall. I integraler blir det så att man får integrera en bit i taget.

\smallskip

Uppgift 3h. Trigonometriska formler kan förenkla integranden.

\bigskip


Uppgift 4. Kolla först alla skärningspunkter, rita gärna en skiss så att ni ser hur området ser ut. Sedan är det ganska lätta integraler. I a: kolla om kurvan ligger ovanför eller under x-axeln. I b: se ledningen till 3a ovan.


\bigskip

%%%%%%%
%  3
%%%%%%%

Uppgift 5. Nyckelordet är partiell integration!

\bigskip

%%%%%%%
%  4
%%%%%%%

Uppgift 6. a. Svår att komma på själv - se AM sid 265 (exempel 7.25).

\smallskip

6b.c.d. Om nämnaren har nollställen - faktorisera den och använd partialbråksuppdelning. 

\bigskip

7. Rita kurvorna och försök hitta det där ändliga området. Skärningspunkter?

\bigskip

8. Partialbråksuppdelning mm

\bigskip

12. Se AM sid 233.

\bigskip

13. Se AM sid 236, sats 7.5.

\bigskip

14. Byt ut $\infty $ mot $R$, räkna ut integralen med den gränsen istället, du får då ett svar som innehåller $R$, ta gränsvärdet av det svaret när $R\to \infty$.


\bigskip

Uppgift 16 utgår och kan hoppas över. Likaså uppgift 17d och uppgift 18b och uppgift 20.

\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
