Dagens 23/1

15. Bestäm Taylorpolynomet av andra graden till följande funktioner:

a. f(x,y) = 2 ln(x - 2y) + e2x-6y kring punkten (3,1).

b. f(x,y) = ex-1 cos(x - y) kring punkten (1,1).

16. Bestäm Taylorpolynomet av andra graden till funktionen

f(x,y) = 8√x + 2cos(2x - y) kring punkten (1,2). Använd detta polynom för att beräkna ett approximativt värde av f(1,1; 2,2).

1. Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär till följande funktioner:

a. f(x,y) = 2xy2 + x2 + 4y

c. f(x,y) = x3 - 3xy + y3

d. f(x,y) = 3x3 - 9x + 3y – y3

e. f(x,y) = x2 + 2xy - y3

2. Är det sant att 2x2 + 3y2 + 4(sin x)(sin y) ≥ 0 om (x,y) ligger tillräckligt nära origo?

3. Verifiera att funktionen f(x,y) = (1 + y)3x2 + y2 endast har en kritisk punkt och att f antar ett lokalt minimivärde i denna . Är värdet funktionens minsta värde?

Svar:

15. a. -1 + 4x - 10y + (x - 3)2 - 8(x - 3)(y - 1) + 14(y - 1)2

15. b. x + (x - 1)(y - 1) - (y – 1)2/2.

16. f(1+h,2+k) ≈ 10 + 4h -5h2 + 4hk - k2, där h = x - 1 och k = y - 2; f(1,1; 2,2) ≈ 10,39.

1. a. Sadelpunkt i (-1,1); motsvarande kvadratisk form är 2h2+8hk-4k2.

1. c. Lokalt minimum i (1,1) (6h2-6hk+6k2) och sadelpunkt i (0,0) (-6hk).

1. d. Lokalt minimum i (1,-1) (18h2+9k2), lokalt maximum i (-1,1) (-18h2-9k2) och sadelpunkter i (1,1) (18h2-9k2) och (-1,-1) (-18h2+9k2).

1. e. Lokalt minimum i (2/3,-2/3) (2h2+4hk+4k2) och sadelpunkt i (0,0) (2h2+4hk).

2. Ja: gradienten är nollvektorn i punkten och efter uträkning av andraderivatorna i punkten får man 4h2+8hk+6k2.

3. grad f = (2x(1+y)3,3(1+y)2x2+2y). Första koordinaten är lika med noll om x = 0 eller y = -1. x = 0 ger y = 0 ur andra ekvationen för koordinaten. Om x = -1, blir andra koordinaten skild från noll, och vi kan inte få en stationär punkt. Alltså är enda stationära punkten (0,0) som är lokalt minimum, ty motsvarande form är 2h2+2k2. Detta är dock inte funktionens globala minimum, då exempelvis f(3,-2) = -12 < 0 = f(0,0).

2007-01-23T13:08:24