Doktorandkurs i Sannolikhetsteori

Richard Durrett: Probability: Theory and Examples, Kap 1 och 2

13/5  Gauss och Eulers representationer av Gammafunktionen
härledda med hjälp av konvergens av Laplacetransformen
för maximum av  oberoende Exp(1) variabler.
Ytterligare klassiska analytiska resultat för Gammafunktionen  
härledda med hjälp av extremvärdes- och logistiska fördelningen.
 

6/5   Kontinuitetssatsen för momentgenererande funktioner
och Laplacetransformer.  Något om stabila fördelningar och
hur de kan studeras med Laplacetransformer. Några egenskaper
hos exponentialfördelningen och representation av dess
ordningsvärden. Konvergens av maximum av  oberoende
Exp(1) variabler, både nästan säkert och i fördelning.

29/4  Moment och regularitet hos karakteristisk funktion.
Momentproblemet.  Momentgenererande funktion
(Laplace transform) och konvergens av moment och
fördelning.

22/4  Lindebergs sats och bevis av den med karakteristiska
funktioner. Diskussion av Berry-Esseens sats.  Kort genomgång
av Inlämningsuppgift 2. (sid  112-117)

15/4  Kontinuitetssatsen för karakteristiska funktioner med
bevis. Utveckling av exp(ix) med "skarp" restterm och användning
av detta för Taylorutveckling av karakteristisk funktion med
restterm given av n:e och n+1:a momentet. (sid 99-103)

1/4   Fördelningskonvergens och tajthet.  Karakteristisk funktion
och några av  dess egenskaper.  Inversionsformeln med bevis.
(sid 90-99)

25/3   Olika karaktäriseringar av svag konvergens lämpliga att
generalisera till allmännare rum än R.  Exempel med rummet
C[0,1] och diskussion i anslutning till detta.  Hellys sats och
vag konvergens på R.  (sid 88-89 )

18/3   Definiton av svag konvergens/fördelningskonvergens på R.
Scheffes sats om konvergens av täthetsfunktioner och i samband
därmed totalvariationskonvergens. Samband mellan fördelnings-
konvergens och nästan säker konvergens. Karakterisering av
fördelningskonvergens med kontinuerliga och begränsade funktioner.
Kontinuerliga avbildningssatsen. Momentkonvergens följer ej
generellt ur fördelningskonvergens. (sid 82-87)

11/3  Något om den historiska utvecklingen av sannolikhetsteorin.
Stirlings formel inkl resttermer.  Härledning av De Moivres sats.
(sid 79-81)

4/3   Bevis att nödvändigt och tillräckligt för STL i stark form
för parvis oberoende lika fördelade sv är ändligt första moment.
Tillämpning på förnyelseteori och empirisk fördelning (Glivenko-
Cantellis sats).  Orienterande om svans-sigmaalgebror och
Kolmogorovs 0-1-lag för oberoende sv. Bevis av  Kolmogorovs
olikhet.  Något om konvergens av serier av oberoende sv.
(sid 56-63)

26/2   Borel-Cantellis andra lemma och dess utvidgning till parvis
oberoende händelser.  Nödvändighet av existensen av första momentet
för STL i starka formen. (sid 50-52)

19/2  Nödvändigt och tillräckligt villkor för Stora Talens Lag i svaga
formen för iid-fallet.  Diskussion om skillnaden mellan STL i stark
och svag form.  Innebörd av limsup av följd av mängder.  Borel-Cantellis
första lemma.  STL i stark form för iid med ändligt 4:e moment.
 (sid 42-49)

5/2   Produktmått, Fubinis sats.  Faltning.  Gamma- och betafunktion
i samband med exempel på faltning. Existens av oändligt många
oberoende sv med hjäp av likformig på enhetsintervallet.  (sid 27-32)