Matematik / Matematisk statistik / SF1923/SF1935

Aktuell information för kursen SF1923 Sannolikhetslära och statistik, 6hp, för CMEDT2 och SF1935 Sannolikhetslära och statistik med tillämpning inom maskininlärning, 7.5 hp, för CDATE2 period 4, VT 2026.

Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.

Administrativa ärenden

I ärenden som är administrativa kontakta studentoffice@math.kth.se

Laboration 2 fredag 8/5 kl 8-12

Lab 2 är frivillig. Den som har godkänt resultat på Lab 2 får tillgodoräkna sig uppg 12 på ordinarie tentamen och första omtentamen.

De som önskar redovisa Laboration 2 måste boka en redovisningstid senast onsdag 6/5 kl 23.59 (se instruktionen nedan).

Se till att komma till labsalen minst tio minuter före redovisningstiden så att ni hinner logga in på datorn och öppna Matlab samt ta fram era redovisningsuppgifter.

Ni behöver också ha med er en utskrift av labspecifikationen som ni har skrivit era personnummer på förstasidan på. Denna utskrift undertecknar labassistenten efter att han eller hon har godkänt labben och utskriften fungerar sedan som ert kvitto på resultatet.

Instruktion om hur man anmäler sig till Lab 2

(Det finns 4 grupper per kvart, max ( och helst) 2 studenter per grupp.) Gå in i kalender. Klicka på "Hitta möte". Välj kurs. Klicka på "Lämna in". Välj tid. Klicka på "Reservera".

Om ni är två personer i labbgruppen - ENDAST en (av er två) ska skicka reservationen i Kalender
(i Kommentar till Reservationen kan ni däremot ange vilka ni två som är i labbgruppen).

Kontrollskrivning

Kontrollskrivningen Torsdagen 16/4 kl 8-10 omfattar kap 2-5 i kurslitteraturen.De studenter som får godkänt på kontrollskrivningen får tillgodoräkna sig uppgift 1-3 på del I på den ordinarie tentamen och på första omtentamenstillfället. Kontrollskrivningen kommer att bestå av 5 uppgifter. För att få godkänt krävs minst 3 rätt. Tillåtet hjälpmedel är miniräknare.

Datorlaborationer

Utöver föreläsningar och övningar innehåller kursen två frivilliga datorlaborationer. Studenter som godkänts på den andra av dessa laborationer får tillgodoräkna sig uppgift 12 på del I och får dessutom 3 bonuspoäng på del II av den ordinarie tentamen och det första omtentamenstillfället.

Laboration 1 är både en introduktion till hur man använder MATLAB i sannolikhetsteori och statistik och en förberedelse till den andra datorlaborationen. Laboration 1 har ett självinstruerande labpek, så det kommer inte att ges möjlighet till handledning i datorsal, men det finns möjlighet att i begränsad omfattning fråga övningsledarna om hjälp i samband med övningsundervisningen eller föreläsaren i samband med föreläsningarna. Beräknad tid att utföra lab 1 är ca 2-3 timmar.(Den som hellre vill använda sig av Python får göra det.)

Laboration 2 som är den bonusgrundande datorlaborationen utförs i grupper om 2 studenter, men de skriftliga förberedelseuppgifterna ska lösas individuellt. Varje grupp kommer att få boka ett femton minuter långt redovisningstillfälle i datorsal. Både de skriftliga individuella förberedelseuppgifterna och laborationsuppgifterna måste vara färdigställda före redovisningstillfället fre 8/5 kl 8-12. Det kommer inte att ges möjlighet till handledning i datorsal, men det finns möjlighet att i begränsad omfattning fråga övningsledarna om hjälp i samband med övningarna och föreläsaren i samband med föreläsningarna.

Redovisningstillfällen för datorlaboration 2 kommer att bokas i kalendern i Canvas och detaljerad information om hur detta görs skickas ut under kursens gång efter kontrollskrivningen.

Syftet med datorlaborationerna är att ge en fördjupad förståelse för de begrepp och den teori som tas upp i kursen och samtliga studenter rekommenderas därför att delta på datorlaborationerna.

Föreläsningar

Föreläsningarna kommer att ges på sal. Efter varje föreläsning kommer det längst ner på denna sida under rubriken Föreläsningsdagbok finnas en kort sammanfattning av vad som gåtts igenom på varje föreläsning. Där finns även föreläsningsanteckningar som är just anteckningar av varierande utförlighet och kvalitet.

Inspelade föreläsningar

Det finns också inspelade föreläsningar.De ligger på media gallery på canvassidan. På sidan Videoföreläsningsdagbok finns en dagbok där huvuddragen av respektive föreläsning sammanfattats. Där står också hur lång respektive föreläsning är. Kolla det innan ni börjar titta. Eftersom de är inspelade så är de ibland utvidgade versioner av föreläsningarna jag håller på sal. Detta beror på att jag inte har behövt bestämma mig för om jag ska lägga dem på en nivå för de som bara vill ha godkänt eller på en nivå för de som vill ha lite mer fördjupning utan jag gör både och. Ljudet blir bättre om man använder hörlurar till sin laptop.

Övningar

Övningarna kommer att ges på sal. Även övningarna finns inspelade, (men är inte identiska med de som ges i direkttid på sal även om det oftast är samma uppgifter som gås igenom) och länkar till dem finns under respektive övning på länken Övningsplan , förutom övning 15 som ligger på media gallery på canvassidan.

Föreläsningsdagbok

Ons 6 maj Började med att avsluta avsnittet om linjär regression. Visade hur man m.h.a. nollhypotesen H₀ : beta =0 kan avgöra om man ska kasta x eller ej. Tog uppgift 12 på tentan 250422 som exempel på detta. Tog sedan exempel 14.7a i läroboken som exempel på hur man med hjälp av multipel regression går tillväga för att avgöra vilka storheter x_i man ska kasta eller inte när man antagit att y beror av x_i:na. Avslutade med lite residualanalys. Började sedan kap 13.10 med att berätta när test av given fördelning används. Tog som inledande exempel på test av given fördelning uppgift 11 på tentan 250422. Nästan halva föreläsningen ägnades sedan helt åt att grundligt gå igenom exempel 13.18 i läroboken som exempel på test av given fördelning där man dels måste skatta minst en parameter ur data (i detta fall µ) för att skatta p₁,p_2,.. p_r, dels slå ihop grupper för att villkoret np_istörre än eller lika med 5 skall gälla för alla i. Berättade sedan om när homogenitetstest används och tog som exempel på detta uppgift 15 på tentan 250526. Berättade efter detta att man vid oberoendetest kan använda sig av identiskt samma numerik som man gör vid homogenitetstest. Visade uppgift 11 på tentan 230413 som exempel på detta.

Ons 29 apr Började med hypotesprövning, nu m.h.a. testvariabelmetoden. Genom att använda exempel 13.8 gjorde jag nu hypotesprövning först i fallet tvåsidigt test med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån alfa och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Genom att använda exempel 13.8 gjorde jag sedan också hypotesprövning i fallet ensidigt test med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån alfa och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Gjorde sedan övningsuppgift 13.21a för att visa hur man tar fram styrkan hos ett test när man har använt sig av konfidensintervallmetoden. Utifrån detta visades även hur man tar fram styrkefunktionen - i detta fall h(delta) där delta =µ_x-µ_y. Avslutade med att börja gå igenom linjär regression och talade bl.a. om att parametrarna alfa och beta skattas med Minsta-kvadrat-metoden. Visade avslutningsvis hur man m.h.a. nollhypotesen H₀ : beta =0 kan avgöra om man ska kasta x eller ej.

Tis 28 apr Inledde med att avsluta kap 12 genom att först härleda konfidensintervallet för standardavvikelsen och för variansen utgående från §11.1b och tab 4 och sedan visa hur man tar fram . konfidensintervallet för standardavvikelsen och för variansen m.h.a. §12.4 och §11.1b. Inledde sedan kap 13 med att skriva upp en lista på viktiga definitioner och begrepp som används inom hypotesprövning, såsom nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde,styrka hos test. styrkefunktion,testvariabel, och kritiskt område. Gick därefter igenom exempel 13.1 i läroboken som exempel på ett fall där man inte använder konfidensintervall för att testa sin nollhypotes och använde exempel 13.1 för att konkretisera begreppen nollhypotes,mothypotes,risknivå,p-värde,testvariabel,och kritiskt område. Fortsatte därefter med exempel 13.4 i läroboken, där man tar fram styrkan hos testet i exempel 13.1 för alternativet p=0.9, och tog även fram styrkefunktionen h(p) i detta fall. Började sedan med exempel 13.8 och gjorde hypotesprövning i fallet tvåsidigt test med konfidensintervallmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån alfa och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga. Genom att använda exempel 13.8 gjorde jag till sist också hypotesprövning i fallet ensidigt test, med konfidensintervallmetoden. Detta gjordes med olika värden på risknivån alfa och m.h.a. detta visades också i vilket intervall p-värdet måste ligga.

Fre 24 apr Hela föreläsningen ägnades åt konfidensintervall som man tar fram med hjälp av §12.3 i Formelsamlingen: Visade först att om stickproven är så stora så att C.G.S. kan användas, så kan man bilda konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för väntevärden och skillnader mellan väntevärden även om observationerna inte kommer från en Normalfördelning. Tog därefter fram ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för
py- px när Y tillhör Bin(ny,py) och X tillhör Bin(nx,px), samt för my i Poisson-fördelningen, och att det i alla dessa fall förutsätter att Normalapproximation är möjlig enligt §5 respektive §6. Visade hur vart och ett av dessa approximativa konfidensintervall ovan tas fram m.h.a. §12.3 i formelsamlingen.

Ons 22 apr Inledde kapitel 12 med att definiera begreppen konfidensintervall och konfidensgrad i allmänna fallet. Härledde därefter det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är känd. Visade sedan hur man får fram samma konfidensintervall genom att använda § 12.1 i Formelsamlingen. Visade sedan hur man enkelt får fram de ensidiga konfidensintervallen när man har fått fram det tvåsidiga. Visade därefter utgående från konfidensintervallet för väntevärdet där standardavvikelsen är känd hur det tvåsidiga konfidensintervallet för väntevärdet ser ut när mätdata kommer från en Normalfördelning där standardavvikelsen är okänd. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är kända. Sedan visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och lika och hur man m.h.a.§11.2 viktar ihop de två stickprovsvarianserna för att få en skattning s av standardavvikelsen. Därefter visades hur man bildar ett konfidensintervall med approximativ konfidensgrad för skillnaden mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända och olika. Därpå visades det viktiga fallet när man har parvisa observationer-"stickprov i par"- och att konfidensintervallet för väntevärdet av de parvisa skillnaderna då tas fram som om man har ett stickprov av parvisa skillnader. Fortsatte sedan med två gamla tentatal-januariitentan 2025 uppg 15a och marstentan 2024 uppg 14 som exempel på skillnad mellan väntevärden respektive stickprov i par. Visade i samband med detta också hur man tar fram konfidensintervallet för µ om µ^*obs t.ex. är 2xmedel -ymedel.(Jfr uppg 15b på januaritentan 2025.)

Fre 17 apr Började med att repetera begreppen TÄTA,TÄTA*,TÄTA*obs. Gick sedan igenom Minsta-kvadrat-metoden. Gick först igenom exempel 11.19 i läroboken som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när mätdata kommer från stok. var. med samma varians och där två saker ska skattas. Gick sedan igenom tentauppg 7 i tentan 2026-04-07 som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går till när mätdata kommer från stok. var. med olika varians. Definierade sedan begreppet konsistent skattning. Definerade därefter begreppen väntevärdesriktighet och effektivitet och tog ett par enkla exempel på dessa. Avslutade sedan kapitel 11 med att definiera begreppet medelfel och tog flera exempel på detta. Bl.a. medelfelet för skattningen av p i Binomialfördelningen och medelfelet för skattningen av µ i Poissonfördelningen.

Tis 14 apr Började med kapitel 10 och definierade medelvärde, stickprovsvarians, populationsvarians, variationskoefficient, median, kovarians och korrelationskoefficient, begreppen grupperade data, absolut och relativ frekvens, klassindelade data, och histogram. Avslutade kapitel 10 med att gå igenom hur man gör en boxplott och visade i samband med detta hur man tar fram kvartiler och percentiler. Började sedan kap 11 med att redogöra för skillnaden mellan det riktiga värdet TÄTA, stickprovsvariabeln TÄTA* och punktskattningen TÄTA*_obs. Tog som exempel på skattning hur man brukar skatta väntevärdet my och standardavvikelsen sigma vid okänd fördelning. Tog sedan som ytterligare exempel på skattningar hur man skattar p i Binomialfördelningen,Hypergeometriska fördelningen och ffg-fördelningen,my i Poissonfördelningen, lambda i exponentialfördelningen samt my och sigma i Normalfördelningen.Presenterade till sist Maximum-Likelihood-metoden och räknade exempel 11.10 i läroboken som exempel på denna.

Tor 2 apr Började kap 7 med Hypergeometriska fördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Definierade sedan Binomialfördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Talade om att Hyp(N,n,p)~ Bin(n,p) om n/N. Visade sedan utgående från Bernoullifördelningen att villkoret np(1-p)>10 för Normalapproximation av Binomialfördelningen egentligen är ett C.G.S.-villkor. Gick sedan igenom begreppet halvkorrektion. Gick därefter in på Poissonfördelningen. Fortsatte med att härleda hur sannolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet, vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att Bin(n,p)~Po(np). Genom att kombinera satsen om att summan av oberoende Poissonfördelade stokastiska variabler är Poissonfördelad med att dela upp intervallet där X är Poissonfördelad i många delintervall visades att villkoret µ>15 för normalapproximation egentligen är ett C.G.S.-villkor.

Tis 31 mars Började med att ta fram väntevärde och standardavvikelse för medelväret av n st ober stokastiska variabler. Fortsatte med att skriva upp att uppmätt värde = korrekt värde+ systematiskt fel+ slumpmässigt fel, och att dålig noggrannhet är det samma som stort systematiskt fel medan dålig precision är det samma som stort slumpmässigt fel.Skrev sedan upp Stora talens lag oc Tjebysjovs olikhet. Inledde sedan kap 6 med att skriva upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för Normalfördelningen. Skrev efter det upp täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för standardiserade Normalfördelningen N(0,1). Skrev sedan upp att om X är N(E[X],D[X]) så gäller att Y=(X-E[X])/D[X] är N(0,1). Berättade sedan om när och hur man använder Tabell 1 och Tabell 2 i formelsamlingen och vad alfa-kvantilen är.
Tog fram P(E[X]-kD[X] < X < E[X]+kD[X]) för k=2 när X är N(E[X],D[X]) som exempel på hur Tabell 1 används. Tog sedan fram fram k när P(E[X]-kD[X]<X<E[X]+kD[X])=0.95 som exempel på hur Tabell 2 används. Började sedan med att skriva upp att varje linjärkombination av oberoende Normalfördelade stokastiska varaibler är Normalfördelad. Räknade exempel 6.2a,b som exempel på detta. Fortsatte med att med att presentera den viktiga Centrala Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende likafördelade stokastiska variabler är approximativt Normalfördelad om n är stort och att detta även medför att medelvärdet är approximativt Normalfördelat.

Tor 26 mars Började med att repetera definitioner och begrepp från föregående föreläsning. Definierade därefter variansen V(X) och standardavvikelsen D(X). Sedan använde jag mig även här av ex 5.1 i boken för att räkna ut variansen m.h.a. definitionen. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))². Definierade även variationskoefficienten R(X)=D(X)/E(X), och medianen xtilde som definieras av att P(X<xtilde)=0.5. Gick sedan igenom följande räkneregelför väntevärden: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c. Härledde sedan ur definitionen formeln V(X)=E(X²)-(E(X))². Efter detta visades att V(aX+b)=V(aX)=a²V(X). Definierade sedan begreppet kovarians och och begreppet korrelationskoefficient och berättade om dess egenskaper. Skrev upp att om X och Y är oberoende så leder det till att E(XY)=E(X)E(Y) vilket i sin tur leder till att C(X,Y)=0 D.v.s. om X och Y är oberoende så leder det alltid till att X och Y är okorrelerade.Gjorde sedan ex 5.13 i Blom för att visa att X och Y kan vara okorrelerade utan att vara oberoende. Som övning på att räkna ut en kovarians gjorde jag övningsuppgift 5.18. Visade också här att om X och Y är okorrelerade behöver det inte leda till att X och Y är oberoende. Visade också att V(X)=C(X,X). Gick sedan igenom räkneregler för kovarianser och skrev upp att C(aX+bY,cZ+dW)=acC(X,Z)+adC(X,W)+bcC(Y,Z)+bdC(Y,W) vilket bl.a. leder till den viktiga regeln att V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) och att V(X+Y)=V(X)+V(Y) om X och Y är oberoende. Sammanfattade därefter med att upprepa följande viktiga räkneregler för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c V(aX+b)=V(aX)=a²V(X) samt om X och Y är oberoende V(X+Y)=V(X)+V(Y).

Tis 24 mars Började kapitel 4 med att gå igenom flerdimensionella diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Gick igenom begreppen simultan sannolikhetsfunktion repektive simultan täthetsfunktion och hur man ur dessa får fram den marginella sannolikhetsfunktionen respektive den marginella täthetsfunktionen och hur man vid oberoende även kan gå åt andra hållet. Visade också hur man räknar ut sannolikheter i det två-dimensionella diskreta och kontinuerliga fallet. Tog som exempel i kontinuerliga fallet uppg 14 på januaritentan 2024. Fortsatte med att visa hur man tar fram Fördelningsfunktionen för max(X,Y) och min(X,Y) utgående från Fördelningsfunktionerna för X respektive Y. Avslutade kapitel 4 med att som exempel på summa visa att summan av ober Poisonfördelade stok.var. är Poissonfördelad.Började sedan med kapitel 5 och startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan exempel 5.1 i boken,och räknade därigenom ut E(X). Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp. E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog sedan och räknade ut E(X²) i Ex. 5.1 i boken.Visade sedan genom ett enkelt exempel att E(X²) inte är lika med (E(X))² i allmänhet.

Mån 23 mars Började med att gå igenom Poissonfördelningen och skrev upp satsen som säger att summan av oberoende Poissonfördelningar också är Poissonfördelad. Tog exempel 7.7 i Blom som exempel på detta. Började sedan med kontinuerliga stokastiska variabler. Definierade täthetsfunktionen och gick igenom hur man ur den får fram Fördelningsfunktionen och vice versa. Gick därefter igenom exponentialfördelningen. Fortsatte med att visa att tiden mellan två händelser är exponentialfördelad om antalet händelser är Poissonfördelat. Visade även att exponentialfördelningen saknar minne. Berättade att eftersom hela kapitel 6 ägnas åt Normalfördelningen gås den igenom då. Gick sedan igenom den likformiga fördelningen och tog som exempel på denna exempel 3.9 i läroboken. Tog exempel 3.14 i läroboken som exempel på en blandad fördelning av diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Avslutade kapitel 3 med att gå igenom funktioner av stokastiska variabler. Började med att gå igenom det diskreta fallet. Tog som exempel 3.16 i Blom. Gick sedan igenom det kontinuerliga fallet. Tog som exempel 3.20 och 3.19 i Blom.

Fre 20 mars Började med att snabbt repetera betingningsformeln, Lagen om total sannolikhet och Bayes sats. Gick sedan igenom ex 2.20 som en intressant tillämpning av Bayes sats. Fortsatte med att visa definitionen för oberoende utgående från betingningsformeln. Tog sedan exempel 2.23 som exempel på oberoende.Inledde sedan kapitel 3 med att gå igenom begreppet stokastisk variabel och definera sannolikhetsfunktionen. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp stolpdiagrammet. Definierade sedan Fördelningsfunktionen och berättade om dess egenskaper. Tog som exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp den. Gick sedan igenom ett antal viktiga diskreta fördelningar. Började med tvåpunktsfördelningen och då speciellt Bernouillifördelningen. Fortsatte med den likformiga fördelningen och för-första-gången-fördelningen och den snarlika geometriska fördelningen. Därefter gick jag igenom Hypergeometriska fördelningen. Avslutade med att gå igenom Binomialfördelningen.

Tor 19 mars Inledde med att snabbt repetera dragning med återläggning med hänsyn till ordning och tog tisdagens exempel att antal pinkoder blir 10^4 eftersom antal kombinationer när man drar k ggr från n element blir n^k. Som exempel på dragning utan återläggning med hänsyn till ordning tog jag sedan en förening med 8 medlemmar som skulle välja ordförande,sekreterare och kassör vilket ger 8 ggr 7 ggr 6 kombinationer. Allmänna fallet n!/(n-k)! kombinationer. Gick sedan igenom dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning. Tog som exempel hur många pokergivar det finns, vilket är 52!/(5! ggr (52-5)!). D.v.s. 52 över 5 . I allmänna fallet har vi n över k kombinationer. Gick därefter igenom sannolikheten att vid n dragningar utan återläggning utan hänsyn till ordning dra k gula kulor från g gula och n-k blå kulor från b blå. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att dra k gula; l blå och r röda o.s.v när man har f färger. Började sedan med betingad sannolikhet. Illustrerade betingningsformeln m.h.a. exemplet på sid 26 i läroboken. Visade lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.17 som exempel på denna. Visade även Bayes sats m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.19 som exempel på denna.

Tis 17 mars Presenterade först kursens hemsida och visade olika länkar och dess innehåll.Fortsatte med att ge exempel på olika användningsområden som ämnet matematisk statistik har och denna kurs ger en introduktion till. Började sedan med att gå igenom utfall,utfallsrum,händelser. Gick sedan igenom snitt, union, komplement och visade hur man med hjälp av Venndiagram räknar ut sannolikheter. Definierade i samband med detta disjunkthet ch oberoende. Förklarade därefter skillnaden mellan diskreta och kontinuerliga utfallsrum. Tog övningsuppgift 2.1a och b som exempel på diskreta utfallsrum.Resten av tiden ägnades åt kombinatorik. Började med multiplikationsprincipen och den klassiska sannolikhetsdefinitinen. Gick till sist igenom draging med återläggning med hänsyn till ordning och tog som exempel att antal pinkoder blir 10^4 eftersom antal kombinationer när man drar k ggr från n element blir n^k.

Sidansvarig: Björn-Olof Skytt
Uppdaterad: 2026-03-07