DIAGNOSTISKT PROV FÖR MATEMATISK SYSTEMTEORI (2003)

(Beklagar typografin -- HTML är fortfarande olämpligt för matematisk text!)

---

1. Bestäm rangen hos matrisen

1 0 1 +1 3 2 5 +1 0 4 4 -4

2. Bestäm de fyra fundamentala underrummmen (d.v.s. radrummet, kolumnrummet, nollrummet och vänstra nollrummet) hörande till matrisen i föregående uppgift.

3. Vilka (om några) av mängderna nedan är underrum till planet x+y-2z=0?

a. M1={t(1,3,2)T: t reell}

b. M2=span{(1,3,2)T, (2,2,1)T}

c. M3=span{(3,-1,1)T, (1,1,1)T}

4. Bestäm (standard) inre produkten mellan vektorerna

a. (1,1,1)T och (3,1,2)T

b. 1-x+x2+5x3 och x-x2 då x ligger i intervallet [-1,1])

c. cos(x) och sin(x) (x i intervallet [0, 2Pi])

Är några av vektorerna ortogonala?

5. Bestäm ortogonala projektionen av (1,1,1)T på span{(1,-2,1)T, (2,1,1)T}

6. Bestäm egenvärden, egenvektorer och egenrum till matrisen

+4 0 1 -2 1 0 -2 0 1

7. Kan någon av matriserna

a. 1 +1 4 -2

b. 3 -4 1 -1

diagonaliseras? Gör i så fall det!

I uppgifterna 8-10 betraktar vi differentialekvationssystem av formen dx/dt=Ax, där x är en n-dimensionell vektor och där den kvadratiska matrisen A kallas systemmatris.

8. Är systemet S med systemmatrisen

0 0 +2 0 1 0 +1 0 0 1 -2 0 0 0 +0 1

stabilt? Asymptotiskt stabilt? Instabilt? Ingendera?

9. Ett system av ordinära differentialekvationer har systemmatrisen

1 +1 4 -2

Bestäm lösningen med minst två olika metoder!

10. Två system av ordinära differentialekvationer har systemmatriserna

a. 3 -4 1 -1

respektive

b. 1 0 +0 2 1 -2 3 2 +1

Bestäm med valfri(a) metod(er) systemens allmänna lösningar!

11. Lös det inhomogena system av ordinära differentialekvationer som har systemmatrisen

-2 +1 +1 -2

och den drivande termen (2exp(-t), 3t)T.

12. Denna uppgift består av två delar. Den första är av analytisk natur: Beräkna medelst handräkning (d.v.s. utan att slå upp svaret i Beta!) laplacetransformerna av

a. (t+2)sin(3t)

b. exp(-t)/sqrt(t)

Den andra delen kräver grafik, och levereras därför i .ps-format på Nätet:

c. www.math.kth.se/~henrikr/polefig.ps

13. Beräkna (utan Beta!) Z-transformen av följden {n22n, n=0, 1, 2,.....}

14. Existerar det tvådimensionella normalfördelade stokastiska variabler X respektive Y med

a. väntevärde (1, -2)T och kovariansmatris +2 -1 -1 +2

respektive

b. väntevärde (-1, 0)T och kovariansmatris -2 +1 +1 -2

Ange i så fall deras täthetsfunktioner!

15. Hur många av problemen ovan kan du lösa med MAPLE och/eller MATLAB?

Här finns FACIT (don't cheat!)



Feedback (a.k.a. återkoppling) till

trygger@math.kth.se eller anders.blomqvist@math.kth.se

välkomnas förstås!