Matematik

## Examensarbete i matematik på grundnivå med inriktning mot optimeringslära och systemteori

### Optimeringslära och systemteori

Optimeringslära och systemteori är ett tillämpat matematiskt ämne som omfattar teori, modeller och metoder för optimering samt systemteoretiska aspekter inom ämnen som biologi, maskinteknik, reglerteknik, robotik, och signalbehandling.

### Vårens projektarbete i optimeringslära och systemteori

#### I VT22 kommer vi att erbjuda följande projekt

• Mixed-integer optimization for machine learning applications
• The task of classifying data into predefined categories and clustering unlabeled data into clusters (groups with similar features) are two fundamental techniques in machine learning. There are numerous practical applications of data classification and clustering, e.g., recognizing handwritten text, abnormality detection in control systems, and cancer diagnostics. Techniques such as support vector machines and k-means clustering are today standard tools, and they build upon optimization concepts. In the project we will study the benefits, potential, and limitations of using mixed-integer optimization techniques for classification and clustering problems. By introducing binary variables, it is possible to integrate additional features in the classification and clustering tasks. For example, by using binary variables it is possible to simultaneously select classification features for a support vector machine. However, the binary variables also make the resulting optimization problem more complex and difficult to solve. In the project we will use state-of-the-art optimization software and work within applications in either Matlab or Python.
• Traffic Planning via Multi-Commodity Network Flow
• In a future with self-driving cars, an important challenge is to coordinate traffic on the streets. A central control system could be used to plan the routes for all cars in order to steer them to their destinations, while optimizing the overall traffic distribution in the street network. The aim of this project is to model traffic in an urban environment as a network flow problem. Each individual car in the environment has a specified point of origin and destination. This can be described by different commodities in the network. The traffic planning problem can been modelled as a minimum-cost multi-commodity network flow problem, which is a huge linear program. The aim of this project is to apply efficient algorithms to solve the problem, and to compare their performance. This project builds on the following kex project from 2021: https://www.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A1567684&dswid=-4478
• Turing's model for pattern formation
• One of the fundamental questions in developmental biology is how the vast range of patterns and structure we observe in nature emerges from an almost homogeneous fertilized egg. The spirals that originate from chemical reactions, the stripes in fish skin patterning, the feline coat coloration and the spatial patterns in dryland vegetation are all examples of the intrinsic ability of seemingly different systems to yield regular structures, both in space and time. It is suggested that a system of chemical substances, called morphogens, reacting together and diffusing through a tissue, is adequate to account for the main phenomena of morphogenesis. In this project, we study first the basic properties of Turing's diffusion model, which is a group of ordinary differential equations. We then use simulation to study given homogeneous initial conditions, how parameters of the system and boundary conditions will shape the steady state pattern formation for the case of up to three morphogens (colors).
• Investigating robustness in inventory theory and supply chains
• Supply chains have been optimized for efficiency in many years and this has reduced the costs under normal operation. However, transport disruptions, such as the ones caused the pandemic restrictions and the Suez incident, have demonstrated a certain lack of robustness in the systems. Using some simple models we will investigate how this robustness can be improved.
• Robust control of electron optics
• Optical systems need alignment and focusing to produce sharp images. Depending on the design of the physical system various methods are used to measure the misalignment. However, since temporal noise exist in the measurements, this gives challenges to the optimal control that shall guide the system into and keep the system in an aligned state, by using the measurements wisely as they are expensive and takes resources from normal operation. In this project we will consider formulation of a robust optimal control, and analysis of the stability of such a system.
Flera av projekten relaterar till befintlig forskning inom avdelningen och det finns i Stockholmsområdet ledande industri och forskningsföretag inom dessa tillämpningsområden. Andra projekt behandlar grundläggande matematiska problem inom ämnet vilka kan tillämpas inom många områden.

Projekten skall normalt genomföras i grupper om två studenter men det är även möjligt att arbeta individuellt. I en del projekt kan det finnas flera (2 eller 3) delprojekt. Samtliga projekt har en inläsningsdel och en problemlösningsdel. Inläsningsdelen är gemensam för alla grupperna i varje projekt medan problemlösningsdelen skall utföras självständigt inom de olika delprojekten.

#### Inläsningsdel

Projekten inleds med en inläsningsdel under LP3. Inläsningen av ämnet sker i form av en informell lärarledd studiecirkel, där deltagarna hjälps åt att lära sig den nödvändiga teorin. Denna delen av kursen avslutas med att studenterna i varje delprojekt presenterar sitt delproblem och sin arbetsplan för projektet. Detaljerna kring upplägget varierar lite grand mellan de olika projekten.

#### Problemlösningsdel

Problemlösningen utförs i huvudsak under LP4. Här skall grupperna självständigt arbeta med sina problem. Normalt träffas gruppen och lärarna en gång per vecka för att diskutera projektens status.

#### Kontaktpersoner

För frågor angående inriktningen mot optimeringslära och systemteori: Jan Kronqvist

### Ungefärlig tidsplan för projektarbetet

• Januari: Arbetetet påbörjas med inläsning.
• Början av mars: Projektformuleringar och arbetsplan ska finnas färdiga.
• Mitten/slutet av mars: Studenten lämnar disposition och skelett till handledaren.
• Början av maj: Rapport lämnas till handledaren för granskning.
• Mitten/slutet av maj: Redovisning, plagiatgranskning och betygssättning.
 Sidansvarig: Xiaoming Hu