Sommarmatematik    | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Inst. för Matematik    |   KTH   
  AVSNITT 1: print Introduktion | Skärmtest | Exempel | SfS-exempel | Övningar | Sluttest | Hjälp



Avsnitt 1, introduktion.

Kvadratkomplettering

Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen har några nollställen samt också var funktionens maximum eller minimum ligger.

Ex1: P1(x) = x2 + 2x + 3 = (x+1)2 + 2.

Ex2: P2(x) = x2 + 6x + 7 = (x+3)2 - 2.

I den färdiga kvadratkompletteringen finns två termer, kvadrattermen och konstanttermen.

Följande information framkommer om P1 och P2:

P1(x) har inget 0-ställe eftersom konstanttermen = 2 > 0.
P1(x) har ett minimum som antas för x=-1. (Detta följer av kvadrattermens utseende.) Minimivärdet är 2 = konstanttermen.

P2(x) har två 0-ställen eftersom konstanttermen = -2 < 0.
P2(x) har ett minimum som antas för x=-3. Minimivärdet är -2.
Se de två övre graferna längst ned!


Andragradsekvationer

Den allmänna ekvationen x2 + px + q = 0 löses med hjälp av lösningsformeln formeln för lösningarna till en andragradsekvation
Notera att formeln fås via kvadratkompletteringen x2 + px + q =(x+p/2)2 + q-p2/4.
Om x2-termen har en annan koefficient än 1, kan man lätt återställa ekvationen till normalform genom division:

2x2 + 3x - 5 = 0    blir   x2 + (3/2)x - 5/2 = 0,

som löses med lösningsformeln.

Om uttrycket under kvadratroten blir negativt för en ekvation F(x) = 0, saknar ekvationen lösningar. Detta svarar grafiskt mot att grafen för funktionen y = F(x) inte skär x-axeln.

  
   

Polynomdivision.

Två tekniker gås igenom här:

Den senar lämpar sig för litet större divisioner.
Båda är bra att kunna.

Behärskar man polynomdivision kan man lösa högre ekvationer bara man känner till en eller flera rötter. Om x=a är en rot till polynomekvationen P(x) = 0, är (x-a) en faktor i P(x). Genom division får man P(x) = (x-a)Q(x) och nya rötter kan eventuellt erhållas från ekvationen Q(x) = 0 som har lägre grad.

Denna typ av problem förekommer i avsnittets sluttest.

Grafer

En andragradskurva utan nollställen
y = P1(x) = (x+1)2+2
En andragradskurva med nollställen
y = P2(x) = (x+3)2-2
Här till vänster visas graferna av de
två andragradsfunktionerna P1(x)
och P2(x) som förekommer i Ex1 och
Ex2 ovan. Båda har minimum för x = -1 resp. x=-3,
men endast den högra har nollställen,
eftersom dess minimum är negativt.
graf av ovanstående funktion inverterad
y = 1/P1(x) = 1/((x+1)2+2)
graf av ovanstående funktion inverterad
y = 1/P2(x) = 1/((x+3)2-2)
Här visas de båda andragradsfunktionerna i inverterad form, 1/P1(x) resp. 1/P2(x).

>Man ser vilken dramatisk inverkan förekomsten av nollställen har på de inverterade funktionerna.



Avdelning Matematik Sidansvarig: webmaster