Sommarmatematik    | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Inst. för Matematik    |   KTH   
  AVSNITT 3: print Introduktion | Skärmtest | Exempel | SfS-exempel | Övningar | Sluttest | Hjälp



Avsnitt 3, introduktion

Teckenstudium

Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar funktionen så långt som möjligt och därefter systematiskt studerar funktionens tecken genom att sammanställa faktorernas tecken i en tabell. ( Se Exempel 1 och SfS-exemplet.)

Observera särskilt de kolumner som svarar mot intervall.
man kan alltså studera funktionens tecken för alla x i olika intervall.

En del av problemet består i att utföra faktoriseringen.
Man måste kunna sätta funktionen på gemensamt bråkstreck och faktorisera m.hj.a polynomdivision om något av detta behövs.

En vanlig tillämpning är att fastställa derivatans tecken i samband med kurvundersökningar.

  
   

Definitionsmängder

Teckenstudium är också ett viktigt inslag i hanteringen av funktioner med begränsad definitionsmängd. De funktioner av denna typ man först brukar stöta på är kvadratroten och logaritmerna. Följande inskränkningar gäller:

och man får ju inte heller glömma:

En del av problemen i detta avsnitt är formulerade som bestämningar av definitionsmängder. Men det handlar alltså egentligen om vanligt teckenstudium av rationella funktioner.


Ekvationer med prövning.

Vissa ekvationer fordrar en sådan behandling vid lösandet att det finns risk för att falska rötter slinker in.
Ekvationslösning består ju oftast av en följd av ekvationer där de senare utgör omformningar av de tidigare.
En falsk rot är en lösning till de senare versionerna av ekvationen som dock inte är en lösning till den ursprungliga ekvationen.

En falsk rot måste naturligtvis förkastas.
Medlet mot falska rötter är prövning i ursprungsekvationen.
Det är dessutom bra om man lär sig förstå när prövning behövs. All ekvationslösning fordrar nämligen inte prövning.

De vanligaste fallen då prövning behövs uppträder i samband med kvadratrötter och logaritmer.

Då ekvationer innehåller kvadratrötter måste man oftast kvadrera bägge leden av ekvationen för att bli av med dem.
Ibland måste man kvadrera flera gånger för att bli av med alla kvadratrötter.

Det finns två anledningar till att man måste pröva rötterna efter att man har kvadrerat bägge led.

  1. Dels kan nya rötter ha tillkommit eftersom existensområdet för ekvationens funktioner utökades när kvadratrötterna eliminerades.

  2. Dels kan nya rötter ha tillkommit genom själva kvadreringseffekten: 3 är ju inte = -3, men efter kvadrering blir talen lika: 32 = (-3)2 = 9.
Exempel 3 ger två enkla. typiska exempel på dessa effekter.

I samband med logaritmer uppstår ofta fall 1 ovan, utökning av existensområdet, när man går från en ekvation av typen ln A = ln B till A = B.

  
   

Grafer

Graf av tredjegradspolynom, enkla nollställen
y = x(x+1)(x-2)
Graf av tredjegradspolynom, ett dubbelt nollställe
y = (x+1)(x-1)2
Till vänster visas grafen av ett tredjegradspolynom på faktoriserad form, vilket gör det möjligt att avläsa nollställenas läge.
Kontrollera att varje faktor av typ (x-a) svarar mot nollstället x=a!

Till höger visas grafen av ett tredjegradspolynom med en kvadratisk faktor (x-1)2. Detta svarar mot arr x=1 är ett dubbelt nollställe till polynomet.
Man ser också att funktionsvärdena är > 0 på båda sidor av x=1, vilket är typiskt för kvadratiska faktorer. I teckentabellen hade man fått kombinationen ' + 0 + ' omkring x=1.

graf av rationell funktion
y = r(x) = (x-1)(x+2)/x
graf av roten ur den rationella funktionen
y = kvadratroten ur r(x),   
Till vänster visas grafen av en typisk rationell funktion, r(x), som växlar tecken i x=-2, 0 och 1. I x=0 finns dessutom en lodrät asymptot på grund av nämnarens nollställe x=0.

Till höger visas kvadratroten ur samma funktion. Man ser att denna funktions definitionsmängd endast omfattar de x för vilka r(x) inte är < 0.


 y=-x och y=sqrt(x)
y = -x , y = sqrt(x)
y=x<sup>2</sup> och y=x
y = x2 , y = x
De två graferna avses visa kvadreringseffekten vid ekvationslösning.

Till vänster ses de båda leden i ekvationen
-x = sqrt(x) (sqrt(x) = 'roten ur x' ) framställda med varsin graf.
Skärningspunktens x-koordinat ( här x=0 ) är ekvationens lösning.

Till höger syns den kvadrerade ekvationen framställd på samma sätt. Man ser att den nya roten x=1 har tillkommit p.g.a kvadreringen
Före kvadreringen hade man -1 i vänsterledet och +1 i högerledet.




Avdelning Matematik Sidansvarig: webmaster