Sommarmatematik    | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Inst. för Matematik    |   KTH   
  AVSNITT 4: print Introduktion | Skärmtest | Exempel | SfS-exempel | Övningar | Sluttest | Hjälp



Avsnitt 4, introduktion

Potensregler.

Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt:

      

Ex 1:   23·2-2 = 23-2 =21 = 2.      Ex 2:   84 = (23)4 = 23·4 = 212

Logaritmer och exponentialfunktioner

Placerar man variabeln x i exponenten uppstår exponentialfunktioner:
ax med det vanligaste specialfallet ex, där e = 2.71828182845904523... är ett viktigt tal i det här sammanhanget.

Logaritmerna loga x och loge x = ln x definieras som inverser till exponentialfunktionerna, dvs de neutraliserar effekten av en exponentialfunktion genom att återställa funktionsvärdet till det ursprungliga värdet x:
(Se också grafen nedan för att få en illustration av inversbegreppet).

      

Ett annat sätt att uttrycka samma sak är:

ln x är det tal som e skall upphöjas till för att man skall få x

Motsvarigheten till potenslagarna ovan är:

      

Observera också den viktiga inskränkningen i definitionsmängden:

ln x är definierad endast för x > 0.
   

Ekvationslösning

Här använder vi logaritmerna (dvs. ln x) i första hand som hjälpmedel att lösa vissa ekvationer. Det gäller framförallt ekvationer med exponentialfunktioner (där alltså variabeln x förekommer i exponenterna) och där det finns högst en term i vänster- och högerledet.
Exempel på sådana ekvationer är Exempel 1 samt Övning 1a,1b och 2c.

Här förekommer också ekvationer som kan återföras till polynomekvationer genom en substitution. (Exempel 2, Övning 1c.)

Slutligen finns också logaritmekvationer som via logaritmlagarna kan återföras till formen
ln A = ln B. Därefter övergår man till ekvationen A = B, men prövar alltid resultaten eftersom Ln A och ln B är definierade endast om A resp. B > 0. (Jämför Avsnitt 3.)

  

Grafer

 Grafer för exponential- och ln-funktionen Här visas graferna för ex- och ln-funktionerna i samma koordinatsystem. Man ser tydligt att de är varandras spegelbild i linjen y=x.

Förklaring till speglingen:

Varje punkt (x,y) är spegelpunkt till punkten (y,x) i linjen y=x. Dessa punkter får man från varandra genom att byta mellan x och y.

Byter man mellan x och y i relationen y = ex får man x = ey. Så dessa båda kurvor ( y = ex och x = ey) är varandras spegelbilder i linjen y=x.

Men definitionen av ln x ( x = eln x ) visar att x = ey utgör samma relation som y = ln x.
(sätt in x = eln x i x = ey och man får eln x=ey , där exponenterna måste vara lika, dvs y=ln x). Kurvan x = ey är alltså densamma som kurvan y = ln x.




Avdelning Matematik Sidansvarig: webmaster