Sommarmatematik    | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Inst. för Matematik    |   KTH   
  AVSNITT 5: print Introduktion | Skärmtest | Exempel | SfS-exempel | Övningar | Sluttest | Hjälp


Formelsamling  


Avsnitt 5, introduktion

Radianer

Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna och deras grafer.

Här är en liten översättningslista:

Radianer och grader

Sinus- och cosinusfunktionerna

Dessa funktioner lär man sig bäst genom att använda dem i praktiken.
Här löser vi främst ekvationer.
  • Graferna är viktiga. Titta på de tre graferna längst ned på den här sidan.
  • Formler är också bra att kunna. åtminstone en del.
    Länk till en kommenterad formelsamling finns överst till höger.
  • En del trigonometri bör kunnas, framförallt bör man vara förtrogen med följande två trianglar som innehåller information om sinus- och cosinusvärden för de kända vinklar som ingår i trianglarna.

Ekvationslösning

De två grundläggande ekvationerna som studeras här är:


(1)      sin x = sin a ,   med lösning:   

(2)      cos x = cos a ,   med lösning:   
Variabeln n i lösningarna antar värdena n = 0, ±1, ±2, ... ,
vilket indikerar att ekvationerna har oändligt många lösningar.
Detta framgår också av första grafen nedan, där också detta kommenteras närmare.

I övrigt får man här också tillfälle att öva in formler, genom att lösa de ekvationer (ex.vis Övning 3) som fordrar någon substitution, oftast t= sin x eller t= cos x.
Ekvationen behöver normalt formas om med någon trigonometrisk formel innan det står klart vilken substitution som är lämplig.
Det visar sig att formlerna 5 (a) - (d) ( se Formelsamlingen) är särskilt nyttiga i dessa sammanhang.


Grafer

Grafer för sinus och cosinus Här syns graferna för cosinus och sinus.
Speciellt kan man studera de oändligt många lösningarna till ekvationerna
cos x = A och sin x = B.

Försök hitta i graferna de två olika fallen i lösningsformlerna ovan för sinus- resp. cosiniusekvationen. Var och ett av dessa fall svarar mot en svit av oändligt många lösningar med det konstanta mellanrummmet 2π.
Dessa två sviter återfinns som o-punkter och x-punkter i graferna.

Tre grafer som visar amplitud och frekvens

y = sin x , y = 2sin x , y = sin 3x ,
Här är den röda kurvan grafen för y=sin x.
Kurvorna för y=2sin x (blå) och y=sin 3x (svart) utmärker sig av dubbelt så stor amplitud resp. tre gånger så stor frekvens.
Två grafer som visar fasförskjutning

y = sin x , y = sin(x-a) ,
Här är den röda kurvan y = sin x.

Den blå kurvan är fasförskjuten a längdenheter åt höger.

Detta svarar mot kurvformeln y = sin(x-a).




Avdelning Matematik Sidansvarig: webmaster