Inst. för Matematik    |   KTH    |


Studiehandbok Kursbeskrivning Kurshuvudsida Löpande Kurs-PM
Schema Föreläsningsplan Rekommenderade uppgifter Matematikjour Tentamensanmälan

SF1602, Differential- och integralkalkyl (envariabelanalys), 2008/2009.

SF1602, Differential and Integral Calculus (one variable), 2007/2008.

9 hpoäng



Kursinformation

Kursansvarig

Håkan Hedenmalm, 08-790 7832, haakanh@math.kth.se

Kursstart

Fredagen den 29 augusti 2007 kl 10.15 i sal V1.

Kursuppläggning

Föreläsningar 60 h, Räkneövningar 30 h.

Förkunskaper

Allmän och särskild behörighet för civilingenjörsprogram.

Kurslitteratur

A. Persson, L.-C. Böiers: Analys i en variabel. Studentlitteratur. Tillhörande övningsbok.

Kursinnehåll

Funktioner av en variabel: differentialkalkyl. Funktionsbegreppet, elementära funktioner, gränsvärden och derivator. Derivator av högre ordning; geometriska tolkningar. Kontinuitet och deriverbarhet. Differentialkalkylens medelvärdessats, satsen om mellanliggande värden. Satsen om existens av max och min. Analys av extrempunkter.
Funktioner av en variabel: integralkalkyl. Primitiva funktioner, substitutioner och partialintegration. Riemannsummor. Integralkalkylens huvudsats. Generaliserade integraler och serier; konvergens. Kurvlängd, areor och volymer. Andra ordningens linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Taylors formel med restterm.

Kursmål

Efter fullgjord kurs skall studenten kunna:

    Funktioner av en variabel: differentialkalkyl

  • förstå funktionsbegreppet, inklusive definitions- och värdemängd, samt sammansatta och inversa funktioner.
  • behärska följande elementära funktioner: polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, exponential- och logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner samt deras inverser. Kunna deras derivator inklusive härledning.
  • förstå begreppet gränsvärde samt kunna arbeta med gränsvärden med hjälp av s k standardgränsvärden, Taylors formel samt l'Hospitals regel.
  • härleda de allmänna deriveringsreglerna och tillämpa dem, främst på elementära funktioner.
  • redogöra för derivatans och andraderivatans geometriska tolkning.
  • redogöra för och kunna tillämpa differentialkalkylens huvudsats, samt dess konsekvenser för att bestämma var en funktion växer respektive avtar.
  • avgöra om givna enkla funktioner är kontinuerliga respektive deriverbara.
  • redogöra för satserna om mellanliggande värden och om existens av största och minsta värden för kontinuerliga funktioner på slutna begränsade intervall.
  • karakterisera lokala och globala extrempunkter med hjälp av derivatan, genomföra en kurvundersökning, samt härleda olikheter.

    Funktioner av en variabel: integralkalkyl

  • bestämma primitiva funktioner till enklare elementära funktioner med hjälp av de allmänna metoderna för detta, bland annat substitution och partiell integration.
  • vara förtrogen med begreppet Riemannsumma, samt definitionen av bestämda integraler som gränsvärden av Riemannsummor.
  • formulera integralkalkylens huvudsats samt beskriva hur den används för att beräkna integraler med hjälp av primitiva funktioner.
  • förstå begreppet generaliserad Riemannintegral, samt kunna avgöra om den är konvergent eller divergent. Motsvarande för serier.
  • använda integraler för att härleda formler för kurvlängd, areor och volymer, samt kunna använda formlerna.
  • lösa andra ordningens linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter, inklusive begynnelseproblem och andra liknande problem, samt behärska bestärska bestämning av partikulärlösning i enklare fall.
  • formulera Taylors formel och bestämma Taylorpolynom samt restterm i enklare fall. Även vissa standardutvecklingar (Taylorserier) med angivande av konvergensområde: geometrisk serie, exponentialfunktionen, sinus och cosinus.

    Funktioner av en variabel: krav för överbetyg (A, B, C)

    För högre betyg skall studenten också kunna:
  • lösa svårare mer sammansatta problem samt visa större insikt i teorin och begreppen, främst avseende teorin om kontinuerliga funktioner.
  • definiera gränsvärde och kontinuitet och bevisa att givna funktioner är kontinuerliga. Även formulera axiomet om övre gräns och kunna använda det för att visa existens av gränsvärden.
  • skissera bevis för medelvärdessatserna och fundamentalsatsen samt deras konsekvenser. Använda dem i problem, t ex rörande funktioners och deras derivators nollställen/värdemängder.
  • lösa linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter av högre ordning.
  • manipulera integraler och serier. Uppskatta integraler och serier för att avgöra konvergens.
  • definiera och handskas med potensserier och kunna avgöra var de konvergerar. Härleda potensserier från allmänna egenskaper om serier.

Examination

    Bedömningsgrunderna för kursen består av två delar:

    Del 1: den obligatorisk del som är uppdelad i 6 moduler, vilken avgör om studenten är godkänd (betyg D eller E) på kursen, samt
    Del 2: vilken avläggs på skriftlig tentamen för erhållande av överbetyg (betyg A, B, C).

    Den obligatoriska delen kan fullgöras antingen genom examination via kontrollskrivningar (och inlämningsuppgift), eller lösande av motsvarande uppgifter på skriftlig tentamen. Härvidlag krävs godkänt bedömning på 5 av 6 moduler, vilket ger betyg D. Ifall detta krav nästan uppnåtts, kan studenten komma ifråga för betyget E (motsvarar 4 av 6 moduler). Normalbetyget för godkänt skall vara D. För högre betyg (A, B, C) krävs dels 5 av 6 godkända moduler, dels deltagande i skriftlig tentamen.

    Resultatlistor

    Resultatlistor kommer ej att sättas upp, av hänsyn till de deltagande studenternas integritet.

    Tillåtna hjälpmedel

    Vid kontrollskrivning och tentamensskrivning tillåts studenterna nyttja formelsamlingen BETA. Däremot är miniräknare ej tillåtna.

    Kontrollskrivningar och moduler

    Under kursens gång ges 3 kontrollskrivningar, vilka testar 5 olika moment, kallade moduler; dessutom har vi en inlämningsuppgift omfattande ytterligare en modul. För betyg D räcker det att ha erhållit godkänt betyg på 5 av 6 moduler. För betyg E räcker det att vara godkänd på 4 av 6 moduler. För högre betyg krävs deltagande i tentamen. För den som vid tentamen ej uppfyllt kravet för betyg D (5 av 6 godkända moduler) ges en kompletteringtentamen i januari 2009. Kontrollskrivningarna äger preliminärt rum  enligt nedanstående:

    KS1: (Modul 1) XX september 2008.

    KS2: (Moduler 2 och 3) YY oktober 2008.

    KS3: (Moduler 4 och 5) ZZ zzz 2008.

    Inlämningsuppgift (Modul 6):

    Tentamen

    (del 1 och 2) den 20 december kl 08.00--13.00 i salar Q13, Q15, Q17, Q22, Q24, Q26, Q31, Q33, Q34, Q36.
    Datum för en kompletteringstentamen kommer att fastställas för de studenter som efter ordinarie tentamen blivit godkända på 3 moduler. Denna kompletteringstentamen omfattar enbart del 1 (vad som krävs för godkänt betyg). Preliminärt datum: XX januari 2009.
    För att få veta i vilken lokal en tentamen går, gå till institutionens hemsida, och tryck på knappen "Tentamina".

    Modulsystemet

    Kursen är indelad i fem moduler.
    På var och en av dessa ges möjlighet att redovisa sina kunskaper medelst kontrollskrivningar respektive inlämningsuppgifter.

    Modul 1: Reella tal. Allmän teori om funktioner (definitionsmängd, värdemängd); sammansättningar, inversa funktioner. Elementära funktioner. Induktionsargument. Gränsvärden och kontinuitet. Grundläggande grafritning. Oändliga summor (serier).
    Modul 2: Derivatabegreppet. Räkneregler, speciellt produktregeln, kvotregeln, och kedjeregeln. Derivering av de elementära funktionerna. Medelvärdessatsen. Extremvärden. Användning av derivatan vid grafritning. Andraderivatans tolkning; konvexitet; inflexionspunkter. Optimeringsproblem och olikheter.
    Modul 3: Primitiva funktioner. Partiell integration; variabelsubstitution. Rationella funktioner och partialbråksuppdelning.
    Modul 4: Integralkalkyl med Riemannsummor. Räknelagar, uppskattningar (triangelolikheten). Integralkalkylens medelvärdessats. Integralkalkylens (Analysens) huvudsats. Insättningsformeln. Generaliserade Riemannintegraler och konvergensbegreppet.
    Modul 5: Tillämpningar av integralkalkylen. Kurvlängd, Rotationsytor och volymer. Jämförelse mellan integraler och serier (Cauchys kriterium). Första ordningens differentialekvationer.
    Modul 6: Linjära differentialekvationer av andra ordningen. Maclaurins och Taylors formler med restterm. Motsvarande Taylorserier. L'Hospitals regel.
    Modulerna 1--5 redovisas medelst kontrollskrivningar.
    Modul 6 redovisas genom en inlämningsuppgift, vilken redovisas skriftligt och muntligt i grupper om tre deltagare.

Omtentamina

Efter kompletteringstentamen kommer som brukligt ordinarie omtentamina att ges vid vissa bestämda datum under året. Dessa är ej modulbaserade, vilket innebär att man måste visa sina kunskaper inom alla områden av kursen, och att man behandlas på samma sätt som övriga omtentander från tidigare årskurser. BONUSPOÄNG från kursen ges EJ.



Räkneövningarna leds av:

Grupp Övningsassistenter Telefon
CTFYS1:1 Joanna Nilsson 790 6194
CTFYS1:2  Eric Nordenstam 790 6643
CTFYS1:3  Kathrin Vorwerk 790 7129





Avdelning Matematik Sidansvarig: Håkan Hedenmalm
Uppdaterad: 2007-07-31