Inst. för Matematik    |   KTH    |


Studiehandbok Kurshuvudsida Löpande Kurs-PM Schema
Föreläsningsplan Tidigare års material Matematikjour Tentamensanmälan

SF1602, Differential- och integralkalkyl (envariabelanalys), 2012/2013.

SF1602, Differential and Integral Calculus (one variable), 2011/2012.

9 hpoäng



Kursinformation [Course information]

Kursansvarig [Lecturer]

Håkan Hedenmalm, 08-790 7832, haakanh@math.kth.se

Kursstart [First lecture]

Måndagen den 28 augusti 2012 kl 13.15 i sal D1.

Kursuppläggning [Disposition]

Föreläsningar 60 h, Räkneövningar 30 h.

Förkunskaper [Prerequisites]

Allmän och särskild behörighet för civilingenjörsprogram.

Kurslitteratur [Textbook]

A. Persson, L.-C. Böiers: Analys i en variabel. Studentlitteratur. Tillhörande övningsbok.

Kursinnehåll [Course content]

Funktioner av en variabel: differentialkalkyl. [Functions of one variable: differential calculus.] Funktionsbegreppet, elementära funktioner, gränsvärden och derivator. Derivator av högre ordning; geometriska tolkningar. Kontinuitet och deriverbarhet. Differentialkalkylens medelvärdessats, satsen om mellanliggande värden. Satsen om existens av max och min. Analys av extrempunkter. [The concept of a function, elementary functions, limits and derivatives. Derivatives of higher order; geometric interpretation. Continuity and differentiability. The mean value theorem of differential calculus, the intermediate value theorem. The theorem on existence of extremal values. Analysis of extreme points.]
Funktioner av en variabel: integralkalkyl. [Functions of one variable: integral calculus.] Primitiva funktioner, substitutioner och partialintegration. Riemannsummor. Integralkalkylens huvudsats. Generaliserade integraler och serier; konvergens. Kurvlängd, areor och volymer. Andra ordningens linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Taylors formel med restterm. [Primitive functions, substitutions and integration by parts. Riemann sums. Main theorem of integral calculus. Generalized integrals and series; convergence.Curve length, area and volume. Second order linear differential equations with constant coefficients. Taylor's formula med remainder.]

Kursmål [Course requirements]

Efter fullgjord kurs skall studenten kunna: [After completing the course the student should be able to:]

    Funktioner av en variabel: differentialkalkyl [Functions of one variable: differential calculus]

  • förstå funktionsbegreppet, inklusive definitions- och värdemängd, samt sammansatta och inversa funktioner. [understand the concept of a function, including the set of definition and the range, as well as composite and inverse functions.]
  • behärska följande elementära funktioner: polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, exponential- och logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner samt deras inverser. Kunna deras derivator inklusive härledning. [master the following elementary functions: polynomials, rational functions, power function, exponentials and logarithms, trigonometric functions and their inverses. Know their derivatives and how to derive those derivatives.]
  • förstå begreppet gränsvärde samt kunna arbeta med gränsvärden med hjälp av s k standardgränsvärden, Taylors formel samt l'Hospitals regel. [understand the concept of limit and be able to work with limits using so-called standard limits, Taylor's formula and l'Hospital's rule.]
  • härleda de allmänna deriveringsreglerna och tillämpa dem, främst på elementära funktioner. [derive the general rules of differentiation and apply those rules to elementary functions.]
  • redogöra för derivatans och andraderivatans geometriska tolkning. [account for the geometric interpretation of the derivative and the second derivative.]
  • redogöra för och kunna tillämpa medelvärdessatsen, samt dess konsekvenser för att bestämma var en funktion växer respektive avtar. [account for and be able to apply the mean value theorem of differential calculus, and its consequences for deciding where a function increases and decreases.]
  • avgöra om givna enkla funktioner är kontinuerliga respektive deriverbara. [decide whether given simple functions are continuous/differentiable.]
  • redogöra för satserna om mellanliggande värden och om existens av största och minsta värden för kontinuerliga funktioner på slutna begränsade intervall. [account for the intermediate value theorem and the theorem on existence of max and min of continuous functions on closed bounded intervals.]
  • karakterisera lokala och globala extrempunkter med hjälp av derivatan, genomföra en kurvundersökning, samt härleda olikheter. [characterize local and global extreme points using derivatives, investigate curves, and derive inequalities.]

    Funktioner av en variabel: integralkalkyl [Functions of one variable: integral calculus]

  • bestämma primitiva funktioner till enklare elementära funktioner med hjälp av de allmänna metoderna för detta, bland annat substitution och partiell integration. [find primitive functions to elementary functions using general techniques such as change of variables and integration by parts.]
  • vara förtrogen med begreppet Riemannsumma, samt definitionen av bestämda integraler som gränsvärden av Riemannsummor. [understand the concept of a Riemann sum, and the definition of definite of the definite integral based on Riemann sums.]
  • formulera integralkalkylens huvudsats samt beskriva hur den används för att beräkna integraler med hjälp av primitiva funktioner. [formulate the main theorem of integral calculus and describe how it is used to calculate definite integrals with primitive functions.]
  • förstå begreppet generaliserad Riemannintegral, samt kunna avgöra om den är konvergent eller divergent. Motsvarande för serier. [understand the concept of a generalized Riemann integral, and be able to decide whether it converges or diverges.]
  • använda integraler för att härleda formler för kurvlängd, areor och volymer, samt kunna använda formlerna. [use integrals to derive formulas for curve length, areas, and volumes, and be able to apply these formulas.]
  • lösa andra ordningens linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter, inklusive begynnelseproblem och andra liknande problem, samt behärska bestärska bestämning av partikulärlösning i enklare fall. [solve second order linear differential equations with constant coefficients, including initial value problems and other similar problems, and master the technique of finding particular solutions in simple cases.]
  • formulera Taylors formel och bestämma Taylorpolynom samt restterm i enklare fall. Även vissa standardutvecklingar (Taylorserier) med angivande av konvergensområde: geometrisk serie, exponentialfunktionen, sinus och cosinus. [formulate Taylor's formula and determine the Taylor polynomial with remainder in simple cases. Also certain standard expansions (Taylor series) with known interval of convergence: geometric series, the exponential function, sine and cosine.]

    Funktioner av en variabel: krav för överbetyg (A, B, C) [Functions of one variable: requirements for grades A, B, C]

    För högre betyg skall studenten också kunna: [To get the higher grades A, B, C, the student should be able to:]
  • lösa svårare mer sammansatta problem samt visa större insikt i teorin och begreppen, främst avseende teorin om kontinuerliga funktioner. [solve more difficult composite problems and show greater insight into the theory and the concepts, especially concerning the theory of continuous functions.]
  • definiera gränsvärde och kontinuitet och bevisa att givna funktioner är kontinuerliga. Även formulera axiomet om övre gräns och kunna använda det för att visa existens av gränsvärden. [define limits and continuity and show that given functions are continuous. Also formulate the axiom on the existence of the least upper bound and be able to apply it to obtain the existence of a limit.]
  • skissera bevis för medelvärdessatserna och fundamentalsatsen samt deras konsekvenser. Använda dem i problem, t ex rörande funktioners och deras derivators nollställen/värdemängder. [sketch proofs of the mean value theorem and the fundamental theorem and of corollaries to these. Apply these theorems in problems, e. g. concerning functions to get zeros of the derivative/the range.]
  • lösa linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter av högre ordning. [solve linear differential equations of higher order with constant coefficients.]
  • manipulera integraler och serier. Uppskatta integraler och serier för att avgöra konvergens. [manipulate integrals and series. Estimate integrals and series to decide about convergence.]
  • definiera och handskas med potensserier och kunna avgöra var de konvergerar. Härleda potensserier från allmänna egenskaper om serier. [define and handle power series to determine the domain of convergence. Derive power series from general properties of series.]

Examination

    Bedömningsgrunderna för kursen består av två delar:

    Del 1: den obligatorisk del som är uppdelad i 6 moduler, vilken avgör om studenten är godkänd (betyg D eller E) på kursen, samt
    Del 2: vilken avläggs på skriftlig tentamen för erhållande av överbetyg (betyg A, B, C).

    Den obligatoriska delen kan fullgöras antingen genom examination via kontrollskrivningar (och inlämningsuppgift), eller lösande av motsvarande uppgifter på skriftlig tentamen. Härvidlag krävs godkänt bedömning på 5 av 6 moduler, vilket ger betyg D. Ifall detta krav nästan uppnåtts, kan studenten komma ifråga för betyget E (motsvarar 4 av 6 moduler). Normalbetyget för godkänt skall vara D. För högre betyg (A, B, C) krävs dels 5 av 6 godkända moduler, dels deltagande i skriftlig tentamen.

    Resultatlistor

    Resultatlistor kommer ej att sättas upp, av hänsyn till de deltagande studenternas integritet.

    Tillåtna hjälpmedel

    Vid kontrollskrivningar tillåts studenterna nyttja formelsamlingen BETA. Vid tentamensskrivning är BETA ej tillåten. Miniräknare ej tillåts ej.

    Kontrollskrivningar och moduler

    Under kursens gång ges 3 kontrollskrivningar, vilka testar 4 olika moment, kallade moduler; dessutom har vi två inlämningsuppgifter omfattande ytterligare två moduler. För betyg D räcker det att ha erhållit godkänt betyg på 5 av 6 moduler. För betyg E räcker det att vara godkänd på 4 av 6 moduler. För högre betyg krävs deltagande i tentamen. För den som vid tentamen ej uppfyllt kravet för betyg D (5 av 6 godkända moduler) ges en kompletteringtentamen i januari 2012. Kontrollskrivningarna äger preliminärt rum  enligt nedanstående:
    KS1: (Modul 1) 21 september 2012.
    KS2: (Modul 3) 24 oktober 2012.

    KS3: (Moduler 4 och 5) 28 november 2012.

    Inlämningsuppgifter
    Moduler 2 och 6

    Tentamen

    (del 1 och 2) den 10 december kl 08.00--13.00.
    Datum för en kompletteringstentamen kommer att fastställas för de studenter som efter ordinarie tentamen blivit godkända på 3 moduler. Denna kompletteringstentamen omfattar enbart del 1 (vad som krävs för godkänt betyg). Preliminärt datum: XX januari 2013.
    För att få veta i vilken lokal en tentamen går, gå till institutionens hemsida, och tryck på knappen "Tentamina".

    Modulsystemet

    Kursen är indelad i sex moduler.
    På var och en av dessa ges möjlighet att redovisa sina kunskaper medelst kontrollskrivningar respektive inlämningsuppgifter.

    Modul 1: Reella tal. Allmän teori om funktioner (definitionsmängd, värdemängd); sammansättningar, inversa funktioner. Elementära funktioner. Induktionsargument. Gränsvärden och kontinuitet. Grundläggande grafritning. Oändliga summor (serier).
    Modul 2: Derivatabegreppet. Räkneregler, speciellt produktregeln, kvotregeln, och kedjeregeln. Derivering av de elementära funktionerna. Medelvärdessatsen. Extremvärden. Användning av derivatan vid grafritning. Andraderivatans tolkning; konvexitet; inflexionspunkter. Optimeringsproblem och olikheter.
    Modul 3: Primitiva funktioner. Partiell integration; variabelsubstitution. Rationella funktioner och partialbråksuppdelning.
    Modul 4: Integralkalkyl med Riemannsummor. Räknelagar, uppskattningar (triangelolikheten). Integralkalkylens medelvärdessats. Integralkalkylens (Analysens) huvudsats. Insättningsformeln. Generaliserade Riemannintegraler och konvergensbegreppet.
    Modul 5: Tillämpningar av integralkalkylen. Kurvlängd, Rotationsytor och volymer. Jämförelse mellan integraler och serier (Cauchys kriterium). Första ordningens differentialekvationer. Linjära differentialekvationer av andra ordningen.
    Modul 6: Maclaurins och Taylors formler med restterm. Motsvarande Taylorserier. L'Hospitals regel.
    Modulerna 1--5 redovisas medelst kontrollskrivningar.
    Modul 6 redovisas genom en inlämningsuppgift, vilken redovisas skriftligt och muntligt i grupper om tre deltagare.

Omtentamina

Efter kompletteringstentamen kommer som brukligt ordinarie omtentamina att ges vid vissa bestämda datum under året. Dessa är ej modulbaserade, vilket innebär att man måste visa sina kunskaper inom alla områden av kursen, och att man behandlas på samma sätt som övriga omtentander från tidigare årskurser. BONUSPOÄNG från kursen ges EJ.



Räkneövningarna leds av:

Grupp Övningsassistenter Telefon
CTFYS1:1 Oliver Lindblad Petersen 790 ????
CTFYS1:2  Erik Gyllensvärd 790 ????
CTFYS1:3  William Vågberg 790 ????





Avdelning Matematik Sidansvarig: Håkan Hedenmalm
Uppdaterad: 2012-08-13