Må 19/9 15-17 FR4 (OBS!)

• 4.1 Definition av derivata.

• 4.2.1-2 Deriveringsregler.

• (4.1) Derivatans definition är viktig.
  Notera också sats 4.1 (deriverbarhet => kontinuitet) och dess korta bevis.

• Deriveringsreglerna är:
  • Produktregeln
  • Kvotregeln
  • Kedjeregeln med (4.2) exempel

• Slutligen finns (4.3) derivatalistan att komma ihåg.

• 4.2.3 Härledning av funktionernas derivator.
  

• 4.2.4 Differentialer.

• 4.2.5 Implicit och logaritmisk derivering.

• 4.4 Högre derivator.

• Vissa derivator kan beräknas direkt ur definitionen, ex.vis derivatorna för x² och x³.

• Differentialer spelar inte så stor roll i denna kurs, men förekommer mer i Matematik II. Skall dock kännas till.

• (4.4) Implicit derivering är viktig och brukar vålla en del problem. Poängen är att man kan få fram värdet för y:s derivata även då y inte definieras explicit som funktion av x.
  
• Logaritmisk derivering är ofta praktisk eftersom metoden kan spara mycket tid.

• Högre derivator (y'', y''' osv.) uppträder i viktiga differentialekvationer.
  Man bör lära sig att hantera högre derivator även vid implicit derivering.

• 4.5.1 Monotonitetssatsen.

• Här behöver man skilja på strikt växande och växande (och motsvarande för avtagande.)

• Del 3. av satsen utsäger att i en lokal extrempunkt är derivatan = 0, om den existerar.

• Del 4 och 5 relaterar begreppen konvexitet och konkavitet till andraderivatans tecken. (f''>0 => f är konvex). Dessa begrepp bör kunnas. (Minnesregel: f(x) = x², vars graf ser ut som ett U, är konvex). Dessa satser tillämpas här på max och minproblem.

• 4.5.2 Rolles sats. Medelvärdessatsen.

• Dessa satser behövs för ett fullständigt bevis av hela monotonitetssatsen.

• Det viktiga här är att satserna tillåter oss att dra slutsatser om funktioners växande och avtagande i hela intervall.

• Därmed kan man lösa problem av typ:
  • Bestämma värdemängden för en funktion.
  • Bevisa en olikhet.
  • Skissera en kurva.
  I samtliga ovanstående problem studerar man derivatans tecken i intervallen mellan derivatans nollställen och eventuella randpunkter. Här ges tre exempel på hur en sådan undersökning kan gå till. Notera särskilt användningen av tabeller.

• (4.6) Kurvskiss 1

• (4.7) Kurvskiss 2