To 29/9 8-11 E1

K4 Komplexa tal

• K4.1 Bakgrund (Historik).
• K4.2 Det komplexa talplanet
  • K4.2.1 De fyra räknesätten
  • K4.2.2 Real- och imaginärdel
  • K4.2.3 Geometriska tolkningar
  • K4.2.4 Konjugering
  • K4.2.5 Belopp
  • K4.2.6 Polär form
• K4.4 Binomiska ekvationer

K5 Polynom

• K5.3 Nollställen. Faktorsatsen.

• K5.5 Polynom med reella koefficienter

• (6.1) Bestämning av real- och imaginärdel i 4.2.1 och 4.2.2 Här ingår att kunna hantera (och bli av med) komplexa tal i nämnaren.

• (6.2) Polär form och formeln e^iθ = cos θ + i sin θ
  i 4.2.3 och 4.2.6.

  Den mest praktiska polära formen är med hänsyn till formeln: z = re^iθ

Det viktigaste för de linjära differentialekvationerna är K5.5 med satsen om de (6.3) konjugerade nollställena till reella polynom.

Må 3/10 8-10 E1

• 6.2 Homogena ekvationer.

• 6.3 Inhomogena ekvationer,
  partikulärlösningar.

• Man börjar alltid studiet av dessa differentialekvationer med (6.4) homogena ekvationer, dvs sådana ekvationer som har högerledet=0.
  Här behövs kunskaperna om komplexa tal eftersom man löser en komplex ekvation som är relaterad till differentialekvationen: Den karakteristiska ekvationen.
• Ickehomogena differentialekvationer klassificeras efter vilka funktioner som förekommer i högerledet.
  Det enklaste fallet uppstår då högerledet är ett polynom.
  Här ges två exempel: (6.5a) Exempel 1
  (6.5b) Exempel 2

Ti 4/10 8-10 E1

• 6.4 Förskjutningsregeln.

• (6.6) Förskjutningsregeln används då högerledet är av typen e^αx eller P(x)e^αx, där P(x) är ett polynom.
  ( α kan vara komplext, vilket innebär att även högerled med cos/sin-funktioner tillåts.)

• 6.4 Förskjutningsregeln (forts.)

• 6.5 Sammanfattning.

• (6.7) Resonans uppstår då talet α i högerledet Ae^αx uppfyller den karakteristiska ekvationen, dvs då L(α)=0. Det typiska resonansfallet, då lösningen blir en trigonometrisk svängning med växande amplitud, uppträder då högerledet består sinus/cosinussvängningar. Detta svara mot att α är ett komplext tal av typ α = iβ och L(iβ)=0.