Kurva och tangent.
Här nedan är Taylorutvecklingen av en R ->R3 - funktion,
dvs. en funktion som geometriskt representeras av en kurva i 3-dimensionella rummet.
Man Taylor-utvecklar de tre envariabelfunktionerna x(t), y(t) och z(t) separat
och sätter in resultaten i en 3-dimensionell vektor.
Den linjära delen är märkt rosa och den kvadratiska orange.
Den linjära och den konstanta delen utgör ekvationen för en rät linje, kurvans tangentlinje,
i punkten
( x(to), y(to), z(to) ).
Jämför med linjens allmänna ekvation:
(1) r = a +tv eller (då man vill att punkten med ortsvektorn a
skall svara mot t = to )
(2) r = a + (t-to)v.
Man ser att
a svarar mot punkten
(x(to), y(to), z(to) och att
tangentlinjens riktningsvektor är:
v = (x'(to), y'(to), z'(to) ).
|
Observera alltså att ekvationen för kurvans tangentlinje döljer sig
i kurvans taylorutveckling omkring tangeringspunkten.
Resonemanget bygger på att att kurvfunktionerna är deriverbara för t = to.
För att man skall förstå kopplingen till vektoralgebran
måste man känna igen vektorerna i linjens ekvation i
Taylorutvecklingens kolumnvektorer.
Dessutom måste man se att parentesen (t-to) i linjens ekvation (2) garanterar
att t=to svara mot r = a.
AM II 6.1
|
