Kursens hemsida   schema
	Aktuell Information

 

Tentan rättad!

Äntligan. Av 34 skrivande blev 13 underkända, varav två har möjlighet att komplettera till 3:a. Elva fick betyget 3, fem fick betyget 4 och femfick betyget 5. Ganska bra resultat, alltså.

Tentorna finns på studentexpeditionen, och de två som ev. vill komplettera skall kontakta mig allra senast den 26/10.

Svar till tentan 29/8-07

1. 4.54%
2. 2'090.25 SEK
3. Z_t = 0.91828
   G₀=17'990.38 SEK
   σ = 0.03196
4. 41.53
5. Fut = 1'800, Fwd = 1'799.40
6. Bevis. Jag skriver ett lösningsförskag litet senare.

Tentan 31/5 är nu

färdigrättad. 22 giltiga skrivande (två saknar kursval och får inte tentera). 10 godkända. Betygsgränser: 0-22 (U), 25-31 (tre), 37 (fyra), 40-50 (fem). Ingen komplettering. Totalt blev alltså 48% godkända, vilket är en liten besvikelse.

Tentan 31/5

håller jag på att rätta. Uppgift 3 går dåligt. Svårigheten (den enda) är att bestämma G₀. Ni gissar mycket, och ofta fel. Rätt svar är

G₀= 10*9.50*108*exp(0.01) kronor.

Euro-räntan har inte med saken att göra — den lade jag dit bara för att ni skulle gissa fel. Argumentet är så här (t.ex.)

Om vi köper en enhet av indexet idag så kostar det 108 Euro. Då får vi exp(0.03) enheter om ett år, till ett värde av exp(0.03)*I Euro (I=index om ett år). Alltså

P₀[exp(0.03)*I Euro] = 108 Euro = 9.50*108 kronor (dagens växelkurs, eftersom vi betraktar nu-priset), dvs.

P₀[10*I Euro] =10*9.50*108*exp(-0.03) kronor

Nu räknar vi ut forward-priset i kronor och skall alltså använda kronräntan:

G₀[10*I Euro] =10*9.50*108*exp(-0.03)*exp(0.04) = 10*9.50*108*exp(0.01) kronor.

Skall det vara så d#!&?a svårt?

Tentan den 25:e är nu rättad.

Av 44 skrivande blev 22 godkända (10 tre, 7 fyra, 5 fem). LADOK är för närvarande nere, så resultaten dröjer litet i "mina sidor". Tentorna finns på studentexpeditionen. Jag meddelar inte resultatet per telefon eller e-post. Jag har fler tentor att rätta!

Betygsgränser för trea, fyra, femma: 30, 38, 47. Ingen komplettering (helhetsbedömning.)

Extratentan med svar

Tentamen den 31:a

Sal: F1, tid: 8.00–13.00. Observera att det bara är ni som anmält er till mig och fått OK som får tentera!

Korrigering

Det var fel svar på uppgift 4, korrigerat nu.

Tentan med svar

Systemet har varit nere ett tag, så detta kommer litet sent.

Tentamen

Tentan äger rum i salarna L51 och L52 kl. 8.00–13.00. Anmälning­stiden har gått ut. Om ni har problem med anmälan så vänd er till Rose-Marie Jansson på matematik — inte till mig. Jag tar inte emot tentamensanmälningar!

Anmälan till tentamen

kan ni fr.o.m i morgon göra som vanligt via mina sidor. Sista dag för anmälan är den 20/5. Observera att ni skall anmäla till mig via epost om ni vill tentea den 31:a i stället.

Denna möjlighet gäller bara de som lämnar in en tentamen för en annan kurs den 25/5. Det är inte tillåtet att tentera denna kurs bägge dagarna. Alltså: Anmäl er till mig per e-post till tentan den 31:a, senast den 25/5 och ange vilken annan tentamen ni tenterar (tenterat) då.

Torsdag 26/4

Jag gick igenom ett par exempel på Ho-Lees binomialträd. Vi bestämde dels priset på en "callable bond" dels på en futures option med en obligation som underliggande tillgång.

Tentor

Observera. Jag lägger nu ut länkar till gamla tentor, därför att studenter har bett om det. Jag har med avsikt inte gjort några lösnings­förslag till gamla tentor — det finns alltså inga sådana. Hade det funnits hade de varit offent­liga hand­lingar. Men jag vill inte att gamla tentor med lösningar skall bli kurs­litteratur i stället för den offici­ella kurs­littera­turen, därför finns inga lösningar. Det innebär att jag inte heller ställer upp med att lösa dessa uppgifter indivi­duellt om ni kommer till kontoret och ber om det. Ty då skulle ju hela idén med att inte göra lösningar saboteras.

Jag kommer natur­ligtvis att lösa lämpliga gamla tentamens­uppgifter på under­visningen när det passar in, och en hel del finns redan — med lösningar — i kompendiet med kommentarer.

Onsdag 25/4

Jag gick igenom Ho-Lees binomialmodell, och räknade ett exempel på en futures respektive forward på en nollkupong. Därmed har jag gått igenom allt i Lecture Notes. Nu räknar vi väsentligen problem den tid som är kvar, men jag kommer också att ta upp en del detaljer som jag tycker ni skall ha hört tala som.

Tisdag 24/4

Jag hinner inte riktigt med att hålla den här sidan uppdaterad. Nu har vi iaf. gått igeniom binomial­modellen och löst alla uppgifterna till LN 8-9, utom 4 och 5. Lägg speciellt märke till uppg.7, som är litet speciell; den faller inte in i den allmänna metoden.

Vi har också gått igenom LN 10, om "futures­måttet" och idag avslutatde jag genom­gången av LN 11. Nu återstår Ho-Lees binomialmodell och exempel på denna (LN 12).

Extra tentamen för dem som skriver en annan tenta 25/5

Jag gör en extra tentamen den 31/5 kl 8-13, men bara de som lämnar in en tentamen för en annan kurs den 25/5 får skriva då. Det är inte tillåtet att tentera denna kurs bägge dagarna. Anmäl er till mig per e-post till tentan den 31:a, senast den 25/5 och ange vilken annan tentamen ni tenterar (tenterat) då.

Måndag 16/4

Jag avslutade väsent­ligen LN 7. I morgon fort­sätter vi med LN 8. Det viktigaste vi kom fram till idag var att forward­priser är en martingal under forward­måttet:

G_t^(T) = E_t^(T)[G_t+1^(T)]

Detta skall vi stödja oss på när vi gör binomial­träd, som är en numerisk approxi­mation av dynamiken för forward-priserna.

Torsdag 12/4

Här är en video om betingade väntevärden som jag lovade. I övrigt: Jag repeterade väsentligen "riskjusterade sannolikheter", där vi använder olika numerärer, från före påsk. Specuellt härledde jag två varianter av Blacks prisformel, dels den "rätta formeln, m.h.a. "forwardmåttet" (nollkupong är numerär), dels en variant där futurespriset kommer in i stället för forwardpriset på underliggande, och där man dskonterar med MMA innanför väntevärdet (m.h.a. "futures­måttet­, dvs. MMA som numerär). Hull skriver upp den "rätta" formeln, men skriver (i 4:e upplagan, nå't snarlikt står i 6:e)

"When interest rates are stochastic Black's model appears to involve two approxi­mations.

1. The expacted value ... in the traditional risk neutral world, the expected value ... equals the the futures price. The forward price and the futures price are not the same when interest rates are stochastic.
2. The stochastic behavior oc interest rates is not taken into account in the way discounting is done.

As ... to show that these two assumptions have exactly offsetting effects.

Black syftar här på den andra varianten, som är den man får med MMA som numerär — the traditional risk neutral world. Men han skriver ner den första, vilken är den man vill använda. Förklaringen till att man har olika formler, som bägge är helt korrekta, kommer först senare i boken.

Tisdag 10 och Onsdag 11/4

Tisdag och onsdag efter påsk kommer Safia Djemili att vikariera för mig. F-arna känner henne kanske från att hon jobbat som studievägledare. Hon är också mentor på en del web-kurser i matte och även web-varianten av den här kursen. Men det är första gången hon uppträder inför en klass, så var litet stödjande! Första gångerna kan man vara litet nervös. Här är uppgifter som hon tar upp. Förmodligen hinner hon inte med alla!

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

b. Är marknaden i contango eller backwardation?

c. Vad tror du är skälet till detta?

Torsdag 29/3-07

Jag skrev aldrig någon logga i onsdags. Vi fort­satte då med LN 6. Vi räknade på en sälj­option på en kupong-obligation med Blacks pris­formel. Sedan tog vi upp immuni­sering, dvs. hur man genom att ta en futures-position på något ränte­papper kan justera en portföljs duration. Vi härledde formeln sist i LN 6, som är en generali­sering av en formel i Hull.

På torsdagen blev det mest "filosofi". Jag pratade om Kolmogorovs axiomsystem för sannolikheter, och gav motsvarande axiom för vänte­värden. Varje tolkning av "vänte­värde" som upp­fyller dessa axiom kan vi använda som vänte­värde i sanno­likhets­teorin. Jag införde då vänte­värde m.a.p. en numerär som en kvot mellan två nu-priser, vilket gav (1) i LN 7. Vi konsta­terade att med noll­kupong som numerär blir vänte­värdet av ett fram­tida värde lika med forward-priset. Mot­svarande sanno­likhets­mått kallas förj­aktligen "forward-måttet". Vi konsta­terade också att med penning­marknads­kontot (MMA) som numerär blir vänte­värdet av ett framtida värde lika med futures-priset. Mot­svarande sanno­likhets­mått kallas förj­aktligen "ekvivalenta martingal­måttet" ;-). Dvs. jag tycker ett mer relevant namn är "futures-måttet" .

Jag trodde jag "upp­funnit" namnet "futures-måttet", men Camilla Landén berättade för mig att hon sett det namnet i nå'n bok. Det måste ha varit en skarp för­fattare; great minds think alike ;-)

Tisdag 27/3-07

Igår och idag tog vi upp inne­hållet i LN 6, dvs. yield, duration, forward yield och forward duration. Idén är att vi vill lik­ställa värdet av en ränte­portfölj med en mot­svarande noll­kupong. Det visar sig att "durationen" mot­svarar en noll­kupongs tid till inlösen, och "yielden" mot­svarar noll­kupongs­räntan. Värdet av ränte­portföljen beror där­med bara på yielden (räntan), vilket gör att vi kan formu­lera en Blacks modell för portfölj­värdet (approxi­mativt), och därmed an­vända Blacks pris­modell för euro­peiska derivat ett sådant räntepapper.

Kursplan för 4:e upplagan

Jag har nu referenser också till Hulls 4:e upplaga i kursplanen.

Torsdag 22/3-07

Jag avslutade genom­gången av LN 5. Därefter gjorde vi övningarna 1 och 4 till Ln 4–5. Titta gärna på resten av övningarna.

Onsdag 21/3-07

Jag gick igenom LN 4 och 5. Jag "bevisade" Theorem i LN 4, men med litet fusk. Det gav ändå en viss intuition för resultatet, hoppas jag. Vi härledde formel (3) i LN 5, men med litet andra beteck­ningar. I morgon skall jag motivera model­leringen litet mer, och så räknar vi övningar på LN 5.

Tisdag 20/3-07

Jag gjorde uppgift 7 och 8 i "Comments..." till LN 1–2. Vi konsta­terade också att svaret på 7b) blir något helt annat om vi hade futures i stället för forwards.

Sedan gick jag igenom LN 3, "Optimal Hedge Ratio". Jag på­pekade man kan se det så här: Vi betraktar regres­sions­ekvationen (låt oss ta 2 futues för hedgen)

S = α + β₁ F₁ + β₂ F₂ + residual

där S är spot­priset vid tiden för hedgen för det som skall hedgas, F_i är respek­tive futures-pris vid tiden för hedgen. Den optimala hedge-positionen får vi då genom att ta futures mor­svarande β_i volyms­enheter under­liggande futuren i per volyms­enhet av S (β_i är alltså "hedge-ratio" för futures i).

Måndag 19/3-07

Jag fortsatte med resone­manget från i fredags, och här­ledde identi­teten

P₀^(t)(S_t) = S₀ exp(-ρt)

om till­gången ger en konti­nuerlig av­kastning på ρ per tids­enhet. Detta gäller för en inves­terings­vara som inte ger någon "conveni­ence yield" eller kostnad utöver av­kast­ningen.

Jag tog sedan upp Forward Rate Agreement (FRA) och härledde en del samband, bl.a. (4.5) i Hull, (exempel: uppgift 11 "Comments..." till LN 1–2) och rela­tionen

Z_n = exp(-f₁ - ... - f_n)

där f_k är forward-räntan från tiden k-1 till k.

Jag pratade mycket kort om ränte­swappar, och gjorde i princip uppgift 12 i "Comments..." till LN 1–2.

I morgon gör jag ett par av upp­gifterna till LN 1–2, sedan är vi klara med LN 2. Läs gärna i Hull, kap. 5. Mer noggranna läs­anvis­ningar finns i "Comments...".

Ränteswap.

Jag tänker inte gå igenom ränteswappar på lektionerna, utan ni får läsa omdet i kompendiet, och i Hulls bok. Men hela idén finns i den här videon där jag räknar ett exempel. Den innehåller egentligen allt man behöver.

Exempel på terminskontrakt

Här är en video där jag löser en enkel tentauppgift på forward- och futures-kontrakt.

Här är en video till där jag löser första delen av ett (enlekt) tentaproblem.

Och här är en video där jag löser ett liknande problem. Obs! Titeln på den här videon har blivit helt fel; bortse från den.

Fredag 16/3

Vi började nu på LN 2. Men bara genom att göra ett antal övnings­upp­gifter, nämligen övningarna 1, 2, 4 och 5 till LN 1–2 i Comments and Examples.

Vi obser­verade att om en till­gång ger ut­delning an­delen d av värdet vid en viss tid­punkt, så kan man åter-investera i till­gången, och då ökar ens inne­hav med faktorn 1/(1-d). Det är ett alter­nativt sätt att lösa exempel 2 och 3 i LN 2. Om ut­del­ningen sker konti­nuerligt, som i exempel 4, så fann vi att inne­havet ökar exponen­tiellt, med faktorn exp(ρt), vid åter­inves­tering.

Torsdag 15/3

Kursen började igår, men jag hann aldrig skriva nå't då. Nu har jag iaf. gått igenom Lecture Note 1 (LN 1). Idag visade jag också, något heuristiskt, att om korta räntan är stokastiskt oberoende av det under­liggande värdet X för en future eller forward (eller snarare: om marknaden upp­fattar det så), så är forward-priset = future-priset. Vi disku­terade också något vad som kan orsaka att forward-priset kan ligga över eller under det av marknaden förväntade spot­priset.