Aktuell information
Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc. Ha för vana att titta till denna sida under kursens gång.

(2/12) Det går nu att anmäla sig till Laboration 2.

(8/11) Den fjärde övningsgruppen är nu struken. Det har dessutom skett vissa ombokningar av övningssalarna i syfte att säkerställa att det alltid finns plats för alla på övningarna.

(3/11) Föreläsningsschemat har uppdaterats; se här.

(2/11) Övningsprogrammet har uppdaterats; se här.

Tidsbokning för redovisning av laboration 2

Den andra laborationen går av stapeln 14-15 december. Den schemalagda tiden kommer att användas endast till redovisning. Sista dag för anmälan är den 13 december.

Tryck på knappen för att boka redovisningstid:

Se till att komma i tid till redovisningen, så att ni hinner logga in och ta fram era redovisningsuppgifter.

Föreläsningsinformation

Första föreläsningen äger rum i F2 den 1 november 2016 kl. 8-10. Som uppvärmning och motivation kan man läsa detta.

2016-11-30 Elfte föreläsningen. Slides finns här.

2016-11-29 Tionde föreläsningen. Slides finns här.

2016-11-25 Nionde föreläsningen. Slides finns här.

2016-11-21 Åttonde föreläsningen. Slides finns här.

2014-11-19 Sjunde föreläsningen. Slides finns här. Johan Westerborn höll i föreläsningen.

2016-11-15 Sjätte föreläsningen. Slides finns här.

Mer om väntevärden och varianser. Beskrev hur vi får E(g(X,Y)) och noterade att ett par intressanta fall är g(X,Y)=XY och g(X,Y)=X+Y. Tittade även på väntevärde för en godtycklig linjärkombination av n stokastiska variabler. Illustrerade på en likformligt fördelad variabel hur affina transformationer ändrar väntevärde och varians.

Införde C(X,Y)=kovariansen mellan X och Y som beroendemått där

C(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)

samt korrelationskoefficienten=C(X,Y)/(D(X)D(Y)). Visade att oberoende variabler är okorrelerade (dvs. har C(X,Y)=0), då E(XY)=E(X)E(Y) i detta fall, och gav ett exempel på att omvändningen inte gäller.

Följande räknelagar för väntevärden och varianser är viktiga:

  • E[aX + b] = aE[X] + b
  • V(aX + b) = V(aX) = a2V(X)
  • E[X + Y] = E[X] + E[Y]
  • V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2C(X,Y)
samt om X och Y är oberoende
  • E[XY] = E[X]E[Y].
  • C(X,Y) = 0
  • V(X + Y) = V(X) + V(Y)
  • V(X - Y) = V(X) + V(Y) OBS! Plustecken!

Diskuterade även varians för godtycklig linjärkombination av n stokastiska variabler och noterade att denna innehöll termer motsvarande kovarianserna mellan de i linjärkombinationen ingående variablerna. I fallet då dessa variabler är oberoende blir dock kovarianstermerna noll och uttrycket för variansen övergår i en enkel summa av viktade varianser. Detta resultat tillämpades på medelvärdet av n oberoende stokastiska variabler, varpå det konstaterades att variansen avtog som 1/n. Tolkning: fördelningen för medelvärdet koncentreras alltmer kring väntevärdet när n går mot oändligheten. Detta resultat togs som utgångspunkt för en diskussion av Stora talens lag, vilken illustrerades med hjälp av upprepade tärningskast.

2016-11-10 Femte föreläsningen. Slides finns här.

Diskuterade läges- och spridningsmått och introducerade väntevärde E(X) och varians V(X) (samt den med variansen nära besläktade standardavvikelsen D(X)) för stokastiska variabler.

Formel att V(X)=E(X2)-(E(X))2 (som brukar kallas Steiners regel inom mekaniken).

Beräknade väntevärde och varians för en exponentialfördelad s.v.

Kapitel 4 om flerdimensionella stokastiska variabler med särskild tonvikt på det viktiga fallet med oberoende variabler. Diskuterade vidare hur man i fallet med oberoende stokastiska variabler kan bestämma fördelningsfunktionerna för maximum och minimum, vilket illustrerades på ett exempel om hållfasthet hos en kedja. Notera att avsnittet 4.8 om betingad fördelning inte ingår i SF1901.

2015-11-08 Fjärde föreläsningen. Slides finns här.

Repeterade det viktiga begreppet stokastisk variabel. Diskuterade de vanligaste kontinuerliga fördelningarna (fördelningar med täthet), inkl. exponentialfördelning och normalfördelning. Minneslöshet hos exponentialfördelningen.

Begreppet fördelningsfunktion, dvs. FX(x)=P(X≤x), som kan användas för att beräkna

P(a < X≤b)=FX(b) - FX(a).

För kontinuerlig fördelning gäller

FX(b) - FX(a)=P(a < X ≤ b)=P(a ≤ X ≤ b)=P(a < X < b)=P(a ≤ X < b),

eftersom P(X=x0)=0 oavsett x0.

Fördelningsfunktion är praktisk vid kalkyler. Samband mellan täthetsfunktion och fördelningsfunktion.

Visade hur man kan ta fram sannolikhetsfunktionen för en s.v. Y som är en funktion g(X) av en diskret s.v. X. Beskrev också hur det funkar för kontinuerlig fördelning med exemplet Y=X2, dvs. exempel 3.21 på sidan 75. Med ledning av detta exempel togs en generell metod fram, vilken användes för att bestämma en formel för tätheten av Y = g(X) i fallet då g är strängt växande/avtagande samt deriverbar. Denna formel användes för att bestämma tätheten för Y=g(X)=1/X i fallet då X har Cauchy-fördelning, vilken visade sig vara samma som tätheten för X! (Detta gäller givetvis inte i allmänhet!)

2016-11-04 Tredje föreläsningen. Slides finns här.

Repeterade begreppen betingad sannolikhet samt oberoende. Illustrerade åter Bayes formel genom att i exemplet med kontrollskrivningen räkna ut den betingade sannolikheten att en student som inte blev godkänd på sluttentamen inte deltog i kontrollskrivningen.

Begreppet stokastiska variabler (Kap. 3) introducerades. Det diskreta fallet exemplifierades med poängsumman av två tärningskast, där sannolikhetsfunktionen beräknades. Dessutom presenterades och diskuterades för-första-gången-fördelningen, binomialfördelningen (som exemplifierades med den icke fotbollsintresserade apan och stryktipset) och Poissonfördelningen. Poissonfördelning dyker upp som modell för t.ex. inloggningar till ett datasytem, antal telefonanrop, antal åskväder etc.

Vidare introducerades kontinuerlig fördelning (fördelning med täthet) och som exempel nämndes likformig fördelning. Kontinuerlig fördelning kommer att diskuteras med under nästa föreläsning.

2016-11-02 Andra föreläsningen

Slides:en från andra föreläsningen hittar ni här (samt i föreläsningsplanen). Först presenterades lite om kombinatorik och vi redde ut, med hjälp av multiplikationsprincipen, fallen med dragning med återläggning med hänsyn till ordning, dragning utan återläggning med och utan hänsyn till ordning. Använde detta för att härleda sannolikheten att få k röda kulor då man ur en urna med v vita och s röda kulor drar n kulor med återläggning (fallet utan återläggning lämnades som övning). Detta har kopplingar till Binomialfördelningen och Hypergeometriska fördelningen som presenteras i kapitel 3 och 7.

Begreppet betingad sannolikhet samt oberoende. Lagen om total sannolikhet samt Bayes' sats (som kan användas för att vända på betingning). Detta användes för att vända på betingning i exemplet med "tvåkronan".

Slutligen introducerades begreppet oberoende händelser, och det undersöktes huruvida några olika händelser är oberoende vid kast med två tärningar. Begreppet utvidgas till sist till fler än två händelser.

2016-11-01 Första föreläsningen

Kursen är nu igång och slides:en från första föreläsningen hittar ni här (samt i föreläsningsplanen).

Gav en hel del viktig kursinformation som alla studenter ombeds ta del av (se slides).

Allmän introduktion till ämnet matematisk statistik och dess tillämpningar.

Grundläggande terminologi. Slumpförsök, utfall, utfallsrum och händelse med exempel på diskreta och kontinuerliga utfallsrum. Speciellt användes exemplet "kast med tärning" och "åldrar hos slumpvis valt par".

Tolkning av mängder som händelser och mängdlärans operationer: komplement, union och snitt. De Morgans lagar. Omöjliga och oförenliga händelser.

Tolkning av sannolikhetsbegreppet som relativ frekvens. Relativa frekvensers stabilitet. Kolmogorovs axiomsystem och några satser som följer ur detta.

Klassisk sannolikhetsdefinition som är tillämplig då utfallen kan anses vara lika sannolika. Hade även tänkt prata lite om kombinatorik, dvs svaret på frågan "På hur många sätt kan man...." samt begreppen "Med/Utan återläggning" samt "Med/Utan hänsyn till ordning" (ordning spelar roll/ordning spelar ingen roll), enligt de två sista slides:en ovan. Detta kommer dock att diskuteras i samband övningarna samt under nästa föreläsning.

Införde den s k multiplikationsprincipen dvs att om tre åtgärder kan utföras successivt på n1, n2 respektive n3 sätt kan de kombineras på n1n2n3 sätt.

Kombinatorik kommer efter nästa föreläsning att inte spela avgörande någon roll i fortsättningen, men det anses tillhöra en kurs i statistik att t.ex. kunna räkna ut sannolikheten för 5 rätt och ett tilläggsnummer på Lotto.

[Kurshemsidan]     [Kursförteckning]     [Avdelningen Matematisk statistik]
Sidansvarig: Jimmy Olsson
Uppdaterad: 2016-10-20