SF1915 Sannolikhetsteori och
statistik för M.
Aktuell information.
Här ges fortlöpande information om schemaändringar, vad som gåtts igenom på föreläsningar etc.
Tentan 20 dec är nu utlagd på Gamla
tentor och KS samt även som fil på Canvas.
Rättelse exempeltentan
Formuleringen på uppg 9 på exempeltentan är nu ändrad så att
det klart framgår att man tänkt sig att det ska vara samma varians
i båda stickproven.
Kontrollskrivningen är nu rättad
Kontrollskrivningen är nu rättad och scannas tis 25/9
Kontrollskrivningen med svar är nu utlagd
Se länken Gamla
tentor och KS
Laboration 2
Förut stod felaktigt att BETA är tillåtet hjälpmedel på
tentan. Detta fel är nu åtgärdat. Observera alltså att BETA ej
är tillåtet hjälpmedel på tentan.
Senaste Vetenskapens värld
https://www.svtplay.se/video/19158619/vetenskapens-varld/vetenskapens-varld-sasong-29-nar-matematiken-avslojar-framtiden?start=auto&tab=2018
handlade en hel del om Bayes sats.
Rapp används inte längre
Rapp används inte längre . Därför är länken till Rapp
borttagen på indexsidan.
Administrativa ärenden
I ärenden som är administrativa kontakta studentoffice@math.kth.se
Antal övningsgrupper
Vi har återgått till 2 övningsgrupper fr.om. fre 31 aug.
Alltså ingen lärare i M35 fredag 31 aug.
Tentamen
Fr. o.m. per 1 HT18 kommer tentamen att bestå av två
delar. Del I för godkänt och del II för högre betyg. Se Examinationsregler
En exempeltenta kommer att finnas på hemsidan med alla länkar i
slutet av vecka 36.
Tis 9 okt Började med att berätta att man vid
oberoendetest kan använda sig av identiskt samma numerik som man
gör vid homogenitetstest. Gjorde uppgift 5 på tentan 2017-01-09
som exempel på detta.Fortsatte därefter med exempel 13.4 i
läroboken, där man tar fram styrkan hos testet i exempel 13.1 för
alternativet p=0.9, och tog även fram styrkefunktionen h(p) i
detta fall. Gick därefter igenom övningsuppgift 13.6 i läroboken
som exempel på hypotesprövning.Gick sedan igenom linjär regression
och visade att parametrarna ? och ? skattas med
Minsta-kvadrat-metoden. Skissade några exempel där man med hjälp
av residualanalys kan avgöra huruvida det är troligt att y beror
linjärt av x. Avslutade med att visa hur man i multipel regression
m.h.a. nollhypotesen H0 :?i =0 kan avgöra om
man ska kasta respektive oberoende variabel xi eller
ej.
Mån 8 okt Denna föreläsning handlade om CHI2-test och höls
av Per-Jörgen Säve -Söderbergh. Se Föreläsning
14
Tor 4 okt Inledde med att som repitition skriva upp samma
lista som föregående föreläsning på viktiga definitioner och
begrepp som används inom hypotesprövning, såsom
nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde, och styrka.Började
sedan från början med exempel 13.8 igen och gjorde hypotesprövning
i fallet tvåsidigt test, dels med kofidensintervallmetoden dels
med testvariabelmetoden. Detta gjordes med olika värden på
risknivån ? och m.h.a. detta visades också i vilket intervall
p-värdet måste ligga. Gjorde sedan hypotesprövning i fallet
ensidigt test, dels med kofidensintervallmetoden dels med
testvariabelmetoden. Även här gjordes detta med olika värden på
risknivån ? och m.h.a. detta visades också här i vilket intervall
p-värdet måste ligga. Gjorde sedan övningsuppgift 13.21a för att
visa hur man tar fram styrkan hos ett test när man har använt sig
av konfidensintervallmetoden. Utifrån detta visades även hur man
tar fram styrkefunktionen - i detta fall h(?) där ? =?1-?2.
Ons 3 okt Började med att repetera definitionen av
konfidensintervall. Tog därefter fram konfidensintervallet för
standardavvikelsen utgående från §12.4 i Formelsamlingen. Visade
utgående från det tvåsidiga konfidensintervallet för
standardavvikelsen hur man tar fram de ensidiga. Gick sedan igenom
konfidensintervall med approximativ konfidensgrad där §12.3
används. Visade att om stickproven är så stora så att C.G.S. kan
användas, så kan man bilda konfidensintervall med approximativ
konfidensgrad för väntevärden och skillnader mellan väntevärden
även om observationerna inte kommer från en Normalfördelning.
Avslutade kapitel 12 med att visa konfidensintervall med
approximativ konfidensgrad för p när X tillhör Bin(n,p), för py-
px när Y tillhör Bin(ny,py) och X tillhör Bin(nx,px) samt för my i
Poisson-fördelningen och att det i alla dessa fall förutsätter att
Normalapproximation är möjlig enligt villkoren i §5. Inledde sedan
kapitel 13 med att skriva upp en lista på viktiga definitioner och
begrepp som används inom hypotesprövning såsom
nollhypotes,mothypotes, risknivå, p-värde, och styrka. Gick
därefter igenom exempel 13.1 i läroboken som exempel på ett fall
där man inte använder konfidensintervall för att testa sin
nollhypotes. Införde i samband med detta begreppen signifikant*,
signifikant**, och signifikant***, samt begreppen testvariabel och
kritiskt område. Som exempel på hypotesprövning m.h.a.
konfidensintervall-metoden använde jag mig därefter av exempel
13.8 i läroboken. Hann dock bara fallet tvåsidigt test.
Ons 26 sep Definierade först begreppen konfidensintervall
och konfidensgrad i allmänna fallet och visade även hur ensidiga
konfidensintervall ser ut. Härledde därefter det tvåsidiga
konfidensintervallet för väntevärdet när mätdata kommer från en
Normalfördelning där standardavvikelsen är känd. Visade utgående
från detta hur man generellt bildar ensidigt nedåt begränsade och
ensidigt uppåt begränsade konfidensintervall. Visade sedan
utgående från det första konfidensintervallet hur det tvåsidiga
konfidensintervallet för väntevärdet ser ut när mätdata kommer
från en Normalfördelning där standardavvikelsen är okänd. Därefter
visades konfidensintervallet för skillnaden mellan väntevärdena
hos två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är
kända. Sedan visades hur man bildar ett konfidensintervall med
approximativ konfidensgrad för skillnaden mellan väntevärdena hos
två Normalfördelade stickprov där standardavvikelserna är okända
och olika. Därefter visades konfidensintervallet för skillnaden
mellan väntevärdena hos två Normalfördelade stickprov där
standardavvikelserna är okända och lika och hur man m.h.a. §11.2
viktar ihop de två stickprovsvarianserna för att få en skattning s
av standardavvikelsen. Efter detta visades det viktiga fallet när
man har parvisa observationer-"stickprov i par"- och att
konfidensintervallet för väntevärdet av de parvisa skillnaderna då
tas fram som om man har ett stickprov av parvisa skillnader.
Avslutade med att härleda konfidensintervallet för
standardavvikelsen och för variansen utgående från att summan av
kvadrerade N(0,1)-variabler tillhör CHI2-fördelningen.
Mån 24 sep Började med att repetera begreppen TÄTA,TÄTA*
,TÄTA*obs.Definierade sedan begreppet konsistens. Presenterade
därefter Maximum-Likelihood-metoden och räknade exempel 11.10 i
läroboken som exempel på denna. Fortsatte med att gå igenom
Minsta-kvadrat-metoden. Som exempel visades hur man kunde göra
MK-skattningen av arean hos en kvadrat där 3 mätdata var sidans
längd, och 2 mätdata var diagonalens längd. Tog sedan exempel
11.19 i läroboken som exempel på hur Minsta-kvadrat-skattning går
till när två saker ska skattas. Definierade efter detta begreppet
medelfel och tog fram medelfelet för skattningen av
väntevärdet my allmänt, medelfelet för skattningen av p i
binomialfördelningen och medelfelet för skattningen av parametern
my i Poissonfördelningen.
Fre 21 sep Började med kap 10 och definierade medelvärde,
stickprovsvarians, populationsvarians, variationskoefficient,
median, kovarians och korrelationskoefficient. Gick sedan igenom
begreppen grupperade data,absolut och relativ frekvens,
klassindelade data,histogram och boxplott.Avslutade kapitel 10 med
att visa hur man tar fram kvartiler och percentiler. Började sedan
kap 11 med att redogöra för skillnaden mellan det riktiga värdet
TÄTA,stickprovsvariabeln TÄTA* och punktskattningen TÄTA*obs. Tog
som exempel på skattning hur man brukar skatta väntevärdet my och
standardavvikelsen sigma vid okänd fördelning. Definerade därefter
begreppen väntevärdesriktighet och effektivitet och tog ett par
enkla exempel på dessa. Tog sedan som ytterligare exempel på
skattningar hur man skattar p i
Binomialfördelningen,Hypergeometriska fördelningen och
ffg-fördelningen,my i Poissonfördelningen, lambda i
exponentialfördelningen samt my och sigma i Normalfördelningen.
Fre 14 sep Började med att repetera den viktiga Centrala
Gränsvärdessatsen (CGS), som säger att summan av n oberoende
likafördelade stokastiska variabler är approximativt
normalfördelad om n är stort, och att detta även medför att
medelvärdet är approximativt normalfördelat. Avslutade kapitel 6
med att göra Exempel 6.6 som exempel på Centrala
Gränsvärdessatsen. Definierade sedan Hypergeometriska
fördelningen och skrev upp dess sannolikhetsfunktion. Definierade
sedan Binomialfördelningen och skrev upp dess
sannolikhetsfunktion. Talade om att Hyp(N,n,p)~ Bin(n,p) om n/N<0.1.
Visade sedan utgående från Bernoullifördelningen att villkoret
np(1-p)>10 för Normalapproximation egentligen är ett
C.G.S.-villkor. Fortsatte med att gå igenom halvkorrektion.
Definierade efter detta Poissonfördelningen. Genom att kombinera
satsen om att summan av oberoende Poissonfördelade stokastiska
variabler är Poissonfördelad med att dela upp intervallet där X är
Poissonfördelad i många delintervall visades sedan att
villkoret µ>15 för normalapproximation
egentligen är ett C.G.S.-villkor. Avslutade kap 7 med att berätta
att sa nnolikhetsdefinitionen för Binomialfördelningen övergår i
sannolikhetsfunktionen för Poissonfördelningen om p är litet,
vilket motiverar att om p<0.1 så gäller att
Bin(n,p)~Po(np).
Ons 12 sep Gick först igenom beviset för Markovs olikhet.
Använde sedan Markovs olikhet för att bevisa Stora talens lag och
Tjebysjevs olikhet. Skrev sedan upp täthetsfunktionen och
fördelningsfunktionen för normalfördelningen. Skrev efter det upp
täthetsfunktionen och fördelningsfunktionen för standardiserade
normalfördelningen N(0,1). Skrev sedan upp att om X är
N(E[X],D[X]) så gäller att Y=(X-E[X])/D[X] är N(0,1). Berättade
sedan om när och hur man använder Tabell 1 och Tabell 2 i
formelsamlingen och vad alfa-kvantilen är. Tog fram P(E[X]-kD[X]
< X < E[X]+kD[X]) för k=1,2,3 när X är N(E[X],D[X]) som
exempel på hur Tabell 1 används, och skrev sedan även upp
sannolikheterna för att ett utfall hamnar minst två respektive tre
standardavvikelser ifrån väntevärdet. Avslutade med att ta fram k
när P(E[X]-kD[X]<X<E[X]+kD[X])=0.95 som exempel på hur
Tabell 2 används och pekade på tabell 2 för att visa vad k ungefär
blir när sannolikheterna är 0.99 och 0.999. Räknade till sist
exempel 6.2a,b som exempel på att varje linjärkombination av
oberoende N-fördelade slumpvariabler är normalfördelad.
Mån 10 sep Började med att definiera systematiskt fel och
slumpmässigt fel och redogjorde för skillnaden mellan noggrannhet
och precision. Fortsatte med att repetera definitionerna för
väntevärde och varians i det diskreta och det kontinuerliga fallet
i en dimension. Gick sedan över till två dimensioner och
definierade E[g(X,Y)] i det diskreta och det kontinuerliga fallet.
Gick därefter igenom följande viktiga räkneregler för väntevärden
och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c V(aX+b)=V(aX)=a²V(X) samt
om X och Y är oberoende V(X+Y)=V(X)+V(Y). Definierade sedan
begreppet kovarians och visade att V(X)=C(X,X). Definerade sedan
begreppet korrelationskoefficient och berättade om dess
egenskaper. Visade att om X och Y är oberoende så leder det till
att E(XY)=E(X)E(Y) vilket i sin tur leder till att C(X,Y)=0,
d.v.s. att X och Y är okorrelerade. Visade sedan att omvändningen
inte behöver vara sann genom att göra exempel 5.13 i läroboken.
Som övning på att räkna ut en kovarians gjorde jag sedan
övningsuppgift 5.18. Gick sedan igenom räkneregler för kovarianser
och skrev upp att
C(aX+bY,cZ+dW)=acC(X,Z)+adC(X,W)+bcC(Y,Z)+bdC(Y,W) vilket bl.a.
leder till den viktiga regeln att V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) och att
V(X+Y)=V(X)+V(Y) om X och Y är oberoende.Avslutade med att ta fram
väntevärde och standardavvikelse för medelväret av n st ober
stokastiska variabler.
Ons 5 sep Började med att gå igenom flerdimensionella
diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler. Gick igenom
begreppen simultan sannolikhetsfunktion repektive simultan
täthetsfunktion och hur man ur dessa får fram den marginella
sannolikhetsfunktionen respektive den marginella täthetsfunktionen
och hur man vid oberoende även kan gå åt andra hållet. Visade till
sist hur man räknar ut sannolikheter i det två-dimensionella
diskreta och kontinuerliga fallet. Fortsatte med att visa hur man
tar fram Fördelningsfunktionen för max(X,Y) och min(X,Y) utgående
från Fördelningsfunktionerna för X respektive Y. Avslutade kapitel
4 med att som exempel på summa visa att summan av ober
Poisonfördelade stok.var. är Poissonfördelad. Började med kapitel
5 och startade med att berätta att väntevärdet är vad man får i
genomsnitt om man gör oändligt många försök. T.ex. blir ju det
genomsnittliga värdet av ett tärningskast 3.5. Gjorde sedan
exempel 5.1 i boken. Skrev sedan upp definitionen för E(X) resp.
E(g(X)) i det diskreta fallet och det kontinuerliga fallet. Tog
sedan och räknade ut E(X²) i Ex. 5.1 i boken. Definierade därefter
variansen för X och standardavvikelsen D(X). Sedan använde jag mig
även här av ex 5.1 i boken för att räkna ut variansen m.h.a.
definitionen. Härledde sedan ur definitionen formeln
V(X)=E(X²)-(E(X))² och räknade ut samma varians m.h.a. denna
formel. Gick avslutningsvis igenom följande viktiga räkneregler
för väntevärden och varianser: E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c,
V(aX+b)=V(aX)=a²V(X), samt om X och Y är oberoende:
V(X+Y)=V(X)+V(Y). Hann ej med att definiera
variationskoefficienten R(X)=D(X)/E(X).
Mån 3 sep Började med kontinuerliga stokastiska variabler.
Definierade täthetsfunktionen och gick igenom hur man ur den får
fram Fördelningsfunktionen och vice versa. Gick sedan igenom den
likformiga fördelningen och tog som exempel på denna exempel 3.8
och exempel 3.9 i läroboken. Gick därefter igenom
exponentialfördelningen.Fortsatte med att visa att tiden mellan
två händelser är exponentialfördelad om antalet händelser är
Poissonfördelat. Visade även att exponentialfördelningen saknar
minne.Berättade att eftersom hela kapitel 6 ägnas åt
Normalfördelningen gås den igenom då. Tog sedan exempel 3.14 i
läroboken som exempel på en blandad fördelning av diskreta och
kontinuerliga stokastiska variabler. Fortsatte sedan med att gå
igenom funktioner av stokastiska variabler. Tog som exempel i det
diskreta fallet exempel 3.16 i Blom och som kontinuerliga exempel
gjorde jag exempel 3.20 och exempel 3.19 i Blom.
Fre 31 aug Inledde kapitel 3 med att gå igenom begreppet
stokastisk variabel och definera sannolikhetsfunktionen. Tog som
exempel på denna ex 3.1 i läroboken och ritade även upp
stolpdiagrammet. Definierade sedan Fördelningsfunktionen och
berättade om dess egenskaper. Tog som exempel på denna ex 3.1 i
läroboken och ritade även upp den. Gick sedan igenom ett antal
viktiga diskreta fördelningar. Började med tvåpunktsfördelningen
och då speciellt Bernoullifördelningen. Fortsatte med den
likformiga fördelningen och för-första-gången-fördelningen och den
snarlika geometriska fördelningen. Fortsatte med att gå igenom
binomialfördelningen, hypergeometriska fördelningen och
Poissonfördelningen.
Ons 29 aug Började med att repetera de två fallen:
Dragning med återläggning med hänsyn till ordning respektive
dragning utan återläggning med hänsyn till ordning. Gick sedan
igenom fallet dragning utan återläggning utan hänsyn till ordning.
Gick därefter igenom sannolikheten att vid n dragningar utan
återläggning utan hänsyn till ordning dra k vita kulor från v vita
och s svarta kulor. Utvidgade sedan detta till sannolikheten att
dra v vita och; s svarta och g gula o.s.v när man har r färger.
Började sedan med betingad sannolikhet. Illustrerade
betingningsformeln m.h.a. exemplet på sid 26 i läroboken. Visade
lagen om total sannolikhet m.h.a. Venndiagram och tog exempel 2.17
som exempel på denna. Visade även Bayes sats m.h.a. Venndiagram
och tog exempel 2.19 som exempel på denna.Visade därefter ex 2.20
på väggen som en intressant tillämpning av Bayes sats. Visade
sedan definitionen för oberoende utgående från betingningsformeln.
Avslutade med exempel 2.23 som exempel på oberoende.
Tis 28 aug Presenterade först kursens hemsida som hittas på
http://www.math.kth.se/matstat/gru och visa olika länkar och dess
innehåll. Fortsatte sedan med ge exempel på olika
användningsområden som ämnet matematisk statistik har och denna
kurs ger en introduktion till. Började sedan med att gå igenom
utfall,utfallsrum,händelser.Förklarade därefter skillnaden mellan
diskret och kontinuerlig fördelning. Tog övningsuppgift 2.1a och b
som exempel på diskreta utfallsrum. Gick sedan igenom snitt,
union, komplement och visade hur man med hjälp av Venndiagram
räknar ut sannolikheter. Definierade i samband med detta
disjunkthet.Skrev upp Kolmogorovs axiomsystem.Resten av tiden
ägnades åt kombinatorik. Började med multiplikationsprincipen och
den klassiska sannolikhetsdefinitinen. Gick igenom draging med
återläggning med hänsyn till ordning och tog som exempel att antal
pinkoder blir 10^4 eftersom antal kombinationer när man drar k ggr
från n element blir n^k.Som exempel på dragning utan återläggning
med hänsyn till ordning tog jag en förening med 8 medlemmar som
skulle välja ordförande,sekreterare och kassör vilket ger 8ggr
7ggr 6 kombinationer. Allmänna fallet n!/(n-k)! kombinationer.
Kontrollskrivningen omfattar kap 2-5.Tillåtet
hjälpmedel:miniräknare.
|