Formelsamling
Översikt 6
Radianer
Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang
bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna
och deras grafer.
Här är en liten översättningslista:
Sinus- och cosinusfunktionerna
Dessa funktioner lär man sig bäst genom att använda dem i praktiken.
Här löser vi främst ekvationer.
- Graferna är viktiga. Titta på de tre graferna längst ned på den här sidan.
- Formler är också bra att kunna. åtminstone en del.
Länk till en kommenterad formelsamling finns överst till höger.
- En del trigonometri bör kunnas, framförallt bör man vara förtrogen med följande två trianglar
som innehåller information om sinus- och cosinusvärden för de kända vinklar som
ingår i trianglarna.
Ekvationslösning
De två grundläggande ekvationerna som studeras här är:
- (1) sin x = sin a , med lösning:
- (2) cos x = cos a , med lösning:
Variabeln n i lösningarna antar värdena n = 0, ±1, ±2, ... ,
vilket indikerar att ekvationerna har oändligt många lösningar.
Detta framgår också av första grafen nedan, där också detta kommenteras närmare.
I övrigt får man här också tillfälle att öva in formler, genom att lösa de ekvationer (ex.vis Övning 3) som fordrar
någon substitution, oftast t= sin x eller t= cos x.
Ekvationen behöver normalt formas om med någon trigonometrisk formel innan det
står klart vilken substitution som är lämplig.
Det visar sig att formlerna 5 (a) - (d) ( se Formelsamlingen) är särskilt nyttiga i dessa sammanhang.
Grafer
|
Här syns graferna för cosinus och sinus. Speciellt kan man studera de oändligt många lösningarna till ekvationerna
cos x = A och sin x = B.
Försök hitta i graferna de två olika fallen i lösningsformlerna ovan för sinus- resp. cosiniusekvationen.
Var och ett av dessa fall svarar mot en svit av oändligt många lösningar med
det konstanta mellanrummmet 2pi.
Dessa två sviter återfinns som o-punkter och x-punkter i graferna.
|
y = sin x , y = 2sin x , y = sin 3x , |
Här är den röda kurvan grafen för y=sin x.
Kurvorna för y=2sin x (blå) och y=sin 3x (svart) utmärker sig
av dubbelt så stor amplitud resp. tre gånger så stor frekvens.
|
y = sin x , y = sin(x-a) ,
|
Här är den röda kurvan y = sin x.
Den blå kurvan är fasförskjuten a längdenheter åt höger.
Detta svarar mot kurvformeln y = sin(x-a).
|
|