Inlämningsuppgift i Komplex Analys för E₂, F₂ och T₂.

Allmänt

Laborationen består av två uppgifter som båda innehåller delar som skall lösas för hand respektive med hjälp av Maple.
Laborationen fordrar en viss förtrogenhet med Maple.
Dessa sidor innehåller två lösta exempel som påminner om uppgifterna här. De Maple-kommandon som dessa uppgifter kräver återfinns i exemplen.

Personliga parametervärden.

Uppgifterna är individuella och bygger på personliga parametervärden enligt följande:

Låt k l m n p och q vara de sex sista från noll skilda siffrorna i ditt eget tiosiffriga personnummer räknat bakifrån. Vi definierar nu parametrarna a, b och c som följer:

a = (-1)^kInt((2 + l)/2),     b = (-1)^m2n ,     c = 3(-1)^p.

( Int(x) = heltalsdelen av x.    Ex: Int(2.34) = 2 ).

Exempel: Du har personnumret 750629-0907 vilket ger

k = 7 , l = 9 , m = 9, n = 2 , p = 6 , q = 5 , varav a = -5 , b = -4 , c = 3.

Uppgift 1.

Avgör hur många nollställen polynomet f(z) = z⁴ + az³ + bz² + cz - q har i högra halvplanet,

a) för hand med Nyquists metod

b) genom att med hjälp av Maple studera hur lämpligt valda rektanglar avbildas av polynomet f.

Observera att det krävs i b) att du först visar att samtliga fyra nollställen ligger i någon rektangel R så att du därefter kan motivera att samtliga nollställen i högra halvplanet ligger i R:s del av detta halvplan.
Det kan vara praktiskt att försöka göra rektangeln R så liten som möjligt eftersom detta underlättar lösningen av uppgiften.

Det kan bli nödvändigt att förstora upp området närmast origo för att avgöra om en kurva omsluter origo eller ej. Detta görs i Maple V med kommandot view . (Se exemplen).

Det bör finnas något samband mellan de två lösningarna.
Din förhandkonstruerade f-avbildning av imaginära axeln i a) bör exempelvis kunna kännas igen i motsvarande del av Maple-kurvan i b).

För godkänd uppgift 1b krävs följande Maple-utskrifter:

1. 4-varvskurva som visar att någon rektangel R innehåller alla 0-ställen.
2. Kurva som visar f:s avbildning av högra delen av R. Antal varv skall framgå tydligt.
3. Ev. uppförstoring av området närmast origo, om antalet varv inte går att utläsa i 2.

Uppgift 2.

Betrakta funktionen g(z) = z⁵ + (a/3)e^zsin z + ib z + bc.

(a, b och c som i uppgift 1.)

a) Visa för hand, med hjälp av Rouchés sats, att g(z) har fem nollställen i en cirkelskiva |z| < 3.

b) Bestäm med hjälp av Maple det största tal r, med två decimaler, för vilket cirkelskivan |z| < r innehåller färre än fem nollställen till g(z).

I denna uppgift blir det nödvändigt att använda kommandot view för att förstora området närmast origo.

För godkänd uppgift 2b krävs följande Maple-utskrifter:

1. Kurvan som svarar mot ditt funna r-värde, r_o.
2. Uppförstoring av området närmast origo i 1.

3. Uppförstoring av området närmast origo av den kurva
   som svarar mot r-värdet r₁ = r_o + 0.01.
   Det skall gå att utläsa en skillnad mellan 2. och 3. beträffande kurvornas läge i förhållande till origo.

Notera möjligheten att lägga in fler plottningspunkter i kurvorna för att göra dessa mer exakta.
De kommandon som behövs omnämns i Exemplen.

Lycka till!                                     gj