5.3 Diagonalisering av symmetriska matriser.

Inte heller matriser med komplexa egenvärden går att diagonalisera (reellt). Exempelvis vridningsmatrisen A(v) går inte att diagonalisera annat än då v är en multipel av pi.

Om det däremot finns ett fullt antal (n st. för en nxn-matris) linjärt oberoende, reella egenvektorer till A, kan man diagonalisera A med hjälp av den matris P som fås då man sätter egenvektorerna som kolumner.
P är då den transformationsmatris som definierar det nya koordinatsystem i vilket A blir diagonal.
Egenvektorerna fungerar alltså som basvektorer i det nya systemet.

Att symmetriska matriser går att diagonalisera med en ortogonal, normerad matris (också kallad ON-matris.) är speciellt viktigt eftersom ett sådant koordinatbyte svarar mot en stel vridning (+ ev. en spegling) och alltså låter kurvor och ytor behålla sin form.
Detta utnyttjas exempelvis i fallet kvadratiska former som beskrivs just av symmetriska matriser.

Man kan tillägga att om den symmetriska matrisen har n st. separata egenvärden, så är egenvektorerna alltid inbördes ortogonala.
Om det däremot finns något multipelt egenvärde (multipelt nollställe till den karakteristiska ekvationen) så har detta egenvärde egenvektorer som fyller upp ett helt plan (om egenvärdet är dubbelt, 3-dimensionellt 'plan' om egenvärdet är 3-dubbelt osv.)
I det fallet blir alltså inte alla egenvektorer inbördes ortogonala.
Men man kan alltid hitta ortogonala egenvektorer bland de oändligt många som hör till det dubbla egenvärdet.
Så punkt 2. gäller även i detta fall. b>