|
Genom att sätta samman en koordinattransformation med sin invers
(som man antar existerar) får man en situation där matriskedjeregeln är
tillämpbar.
Observera att vid denna sammansättning kommer man tillbaks till
utgångsvektorn (x,y)T.
Denna vektors Jacobimatris (m.avs. på x och y) är enhetsmatrisen.
Därför får man att Jacobimatrisen J för
transformationen och Jacobimatrisen J' för inverstransformationen
har produkten E, vilket visar att J och J' är
varandras inverser.
Samtidigt får man ett kriterium för att inversen till en
koordinattransformation existerar i en punkt:
J' = J-1 skall existera dvs. det(J) skall vara skild ifrån 0.
Observera att koordinattransformationens Jacobimatris i en viss punkt är den konstanta, linjära
transformation, som bäst approximerar koordinattransformationen
i punkten.
Existens av invers för Jacobimatrisen (dvs för den approximerande linjära transformationen)
visar sig innebära lokal existens av invers till koordinattransformationen.
MAII 5.2
|
|
