5. LA3             Linjära koordinatbyten och egenvärdesproblem

Start

LA3-PR


1.Linjära koordinatbyten.
  • Vid ett linjärt koordinatbyte måste man känna till koordinaterna för basvektorerna i det gamla systemet {e1, e2,... } och basvektorerna i det nya systemet {f1, f2,... }.
  • Dessa koordinater skall anges i samma koordinatsystem. Normalt väljs det gamla systemet som bassystem så att e1=(1,0,...), e2=(0,1,...) osv.
  • Transformmatrisen C definierar en relation mellan de nya och gamla basvektorerna:
    (1)    fj=Cej, j=1,2,...,n.
  • Om e1=(1,0,...),e2=(0,1,...) osv., är de nya basvektorerna fj kolumner i C.
  • Relationerna mellan en vektors koordinater i gamla systemet, xe, och i nya systemet, xf, blir
    (2)    xe = Cxf .
    Observera skillnaden mellan (1) och (2)!
  • Motsvarande relation mellan en matris i gamla systemet , Ae, och i nya systemet, Af, blir
    (3)     Af = C-1AeC.








2. Egenvärden, egenvektorer och diagonalisering.

  • Egenvärden till matrisen A (kvadratisk) är lösningar till den karakteristiska ekvationen det(A-λE) = 0.
  • Egenvektorer u svarande mot egenvärdet λ uppfyller Au = λu.
  • Egenvektorerna är ortsvektorer till de oändligt många lösningarna till det homogena systemet (A-λE)u = 0.
  • Om A är en nxn-matris som har n st linjärt oberoende reella egenvektorer, kan A diagonaliseras, dvs det finns en diagonalmatris D och en nxn-matris P så att
    (4)      D=P-1AP.
    I den diagonaliserande matrisen P ingår egenvektorerna som kolumner.
  • D:s diagonalelement utgörs av A:s egenvärden.
  • Symmetriska matriser har alltid reella egenvärden och maximalt antal egenvektorer och kan alltså alltid diagonaliseras. Men alla kvadratiska matriser kan inte diagonaliseras.
  • För symmetriska matriser gäller dessutom att egenvektorerna kan väljas inbördes ortogonala. Symmetriska matriser kan alltså diagonaliseras av en ON-matris.
  • Diagonaliseringsformeln (4) ger en praktisk metod att bestämma matrispotenser An.








3.Diagonalisering av andragradskurvor och -ytor.

  • En kvadratisk form är ett polynom av enbart andragradstermer. En kvadratisk form kan skrivas på formen Q(x1,...,xn) = xTKx, där xT=(x1,...,xn) och K en symmetrisk nxn-matris.
  • Kvadratiska kurvor och ytor kan skrivas på formen
    (5a)     xTKx + bTx=c eller
    (5b)    xTKx = c.
    (Kurvor i 2-dim. fallet, ytor i 3-dim. fallet.)
  • Dessa kurvor och ytor diagonaliseras genom ortonormala koordinatbyten x=Oy där alltså O är en ON-matris. Detta är enligt ovan möjligt eftersom de kvadratiska formerna kan definieras av symmetriska matriser och att dessa kan diagonaliseras av en ON-matris.
  • För ON-matriser gäller att O-1= OT vilket medför att diagonaliseringsformeln (4) kan skrivas D=OTAO.
  • I fallet (5b) där förstagradstermer saknas kan den diagonaliserade formen bestämmas enbart genom beräkning av K:s egenvärden som är D:s diagonalelement dvs koefficienterna för kvadrattermerna..
  • I fallet (5a) där förstagradstermerna bTx ingår måste dock även den diagonalisernde ON-matrisen O bestämmas (dvs K:s egenvektorer) så att förstagradstermerna kan transformeras.
  • De kvadratiska kurvornas och ytornas typ (ellips, hyperbel, ellipsoid, en- och tvåmantlig hyperboloid osv. ) bestäms av tecknen för egenvärdena till matrisen K.